Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$
Bài làm của MSS 52:
Bất đẳng thức phụ :
1) Với $m,n>0$ ta luôn có $m+n\geq 2\sqrt{mn}$
2)Với $a,b,c>0$ ta luôn có $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$
2)Với $a,b,c,x,y,z>0$ ta luôn có $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$
Chứng minh:
1) $m+n\geq 2\sqrt{mn}\Leftrightarrow (\sqrt{m}-\sqrt{n})^{2}\geq 0$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $m=n$.
2) Áp dụng BĐT 1:
$a+b+c+\sqrt[3]{abc}\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c.\sqrt[3]{abc}}\geq 4.\sqrt{\sqrt{abc.\sqrt[3]{abc}}}=4\sqrt[3]{abc}\Rightarrow a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
3) BĐT trên tương đương:$(x+y+z)(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z})\geq (a+b+c)^{2}$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a^{2}.\frac{y}{x}+b^{2}.\frac{x}{y})+(b^{2}.\frac{z}{y}+c^{2}.\frac{y}{z})+(c^{2}.\frac{x}{z}+a^{2}.\frac{z}{x})\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)$
$(a^{2}.\frac{y}{x}+b^{2}.\frac{x}{y})+(b^{2}.\frac{z}{y}+c^{2}.\frac{y}{z})+(c^{2}.\frac{x}{z}+a^{2}.\frac{z}{x})\geq 2(ab+bc+ca)$ (1)
Áp dụng BĐT 1
Ta có : $VT (1) \geq 2\sqrt{a^{2}.\frac{y}{x}.b^{2}.\frac{x}{y}}+2\sqrt{b^{2}.\frac{z}{y}+c^{2}.\frac{y}{z}}+2\sqrt{c^{2}.\frac{x}{z}+a^{2}.\frac{z}{x}}$
$=2(ab+bc+ca)=VP(1)$
$\Rightarrow (1)$ đúng $\Rightarrow$đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$
Trở lại bài toán:
Đặt $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}(a,b,c>0)$
$\Rightarrow abc=1$
$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$
$\Leftrightarrow E=\frac{1}{\frac{1}{a^{3}}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}+\frac{1}{\frac{1}{b^{3}}(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})}+\frac{1}{\frac{1}{c^{3}}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}$
$=\frac{a^{3}bc}{b+c}+\frac{b^{3}ca}{c+a}+\frac{c^{3}ab}{a+b}$
$=abc(\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b})$
$=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}$
Áp dụng BĐT 3 ta có:
$E\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+b+c+c+a}=\frac{a+b+c}{2}$
Áp dụng BĐT 2
$E\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
d= 10
S = 45 + 10 +5 = 60
Edited by BlackSelena, 11-06-2014 - 13:20.