MSS 52:
Mở rộng:
Ta sẽ nâng bậc n của các biến.
Cho $x, y, z,n$ là các số dương $(n\geq 2)$thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$E=\frac{1}{x^n(y+z)}+\frac{1}{y^n(z+x)}+\frac{1}{z^n(x+y)}.$$
Lời giải:
Bổ đề phụ:
Với $a,b,c,k$ là các số dương, ta luôn có:
$\frac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{n}$
Chứng minh : Ta sẽ CM bằng quy nạp:
Với $n=1$: $\frac{a+b+c}{3}\geq \frac{a+b+c}{3}$(đúng)
Với $n=2$: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}\Leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$(đúng theo Cauchy)
....
Giả sử BĐT đúng với $n=k$: $\frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{k}$ (1)
Ta sẽ CM bđt đúng với $n=k+1$: $\frac{a^{k+1}+b^{k+1}+c^{k+1}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{k+1}$(2)
Thật vậy: Nhân 2 vế của (1) với $\frac{a+b+c}{3}$
$\frac{(a^{k}+b^{k}+c^{k})(a+b+c)}{9}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{k+1}$
Để được (2) ta sẽ CM:
$3(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})\geq (a^{n}+b^{n}+c^{n})(a+b+c)$
$\Leftrightarrow 2(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})\geq (a^{n}b+ab^{n})+(b^{n}c+bc^{n})+(c^{n}a+ca^{n})$(*)
Mà $a^{n+1}+b^{n+1}\geq a^{n}b+ab^{n}\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+a.b^{n-2}+b^{n-1})\geq 0$(đúng)
Thiết lập 3 bđt tương tự rồi cộng lại ta sẽ được (*)
Vậy ta đã có đpcm.
Trở lại bài toán
Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}(a,b,c> 0)$$\Rightarrow abc=1$
$\Rightarrow E=\frac{a^{n}bc}{b+c}+\frac{b^{n}ca}{c+a}+\frac{c^{n}ab}{a+b}$
$=\frac{a^{n-1}}{b+c}+\frac{b^{n-1}}{c+a}+\frac{c^{n-1}}{a+b}$
- $n=2k+1$($k\geq 1$, k nguyên)
$\Rightarrow E=\frac{a^{2k}}{b+c}+\frac{b^{2k}}{c+a}+\frac{c^{2k}}{a+b}$
$\geq \frac{(a^{k}+b^{k}+c^{k})^{2}}{2(a+b+c)}$
Áp dụng bổ đề trên:
$a^{k}+b^{k}+c^{k}\geq 3(\frac{a+b+c}{3})^{k}$
$E\geq \frac{\frac{9}{3^{2k}}.(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2.3^{2k}}.(a+b+c)^{2k-1}\geq \frac{(3abc)^{2k-1}.3^{2}}{2.3^{2k}}=\frac{3}{2}$
- $n=2k$($k\geq 1$, k nguyên)
$E=\frac{a^{2k-1}}{b+c}+\frac{b^{2k-1}}{c+a}+\frac{c^{2k-1}}{a+b}=E=\frac{a^{2k}}{ab+ac}+\frac{b^{2k}}{bc+ab}+\frac{c^{2k}}{ca+bc}\geq \frac{(a^{k}+b^{k}+c^{k})^{2}}{2(ab+bc+ca)}$
$\geq \frac{9}{3^{2k}}.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}.(a+b+c)^{2k-2}\geq \frac{9}{3^{2k}}.\frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}.(3\sqrt[3]{abc})^{2k-2}=\frac{9}{3^{2k}}.\frac{3}{2}.3^{2k-2}=\frac{3}{2}$
Vậy $minE=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$