1 reply to this topic

[Alexman113]

Tìm $m$ sao cho tiếp tuyến với $y=\dfrac{2mx+3}{x-m}$ cắt hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng $64.$

[leminhansp]

Tìm $m$ sao cho tiếp tuyến với $y=\dfrac{2mx+3}{x-m}$ cắt hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng $64.$

 

$$y=\frac{2mx+3}{x-m}\quad (C_m)$$

 

Gọi $M\left( x_0;\frac{2mx_0+3}{x_0-m}\right)$ là một điểm bất kì trên $(C_m)$. Khi đó tiếp tuyến tại $M$ có phương trình:

$$d_M:\quad y=\frac{-2m^2-3}{(x_0-m)^2}(x-x_0)+\frac{2mx_0+3}{x_0-m}.$$

Tiệm cận đứng $\Delta_1:\quad x=m$.

Tiệm cận ngang $\Delta_2:\quad y=2m$.

Gọi $I=\Delta_1\cap \Delta_2$, $I(m,2m)$.

$d_M\cap \Delta_1=A(x_A,y_A)\Longrightarrow y_A=\frac{2m^2+2mx_0+6}{x_0-m}$.

Khi đó: $AI=|y_A-y_I|=\left| \frac{2m^2+2mx_0+6}{x_0-m}-2m\right|=\left| \frac{6+4m^2}{x_0-m}\right|$.

$d_M\cap \Delta_2=B(x_B,y_B)\Longrightarrow x_B=2x_0-m$.

Khi đó: $BI=|x_A-x_I|=|2x_0-m-m|=2|x_0-m|$.

Mà tam giác $IAB$ vuông tại $I$ nên $S_{IAB}=\frac{1}{2}AI.BI$ và bài toán được giải quyết.

 

P/s: Đối với bài toán tương giao của tiếp tuyến với tiệm cận (hoặc trục tọa độ) của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất kiểu như này có cách làm khá giống nhau. Ta luôn có thể tìm giao điểm cụ thể.

Edited by leminhansp, 26-06-2014 - 02:09.