1 reply to this topic

[Alexman113]

Cho $x,\,y,\,z>0$ thỏa $x^2y^2z^2+\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\ge x+y+z+xy+yz+zx+3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=\dfrac{x^3}{\left(y+2z\right)\left(2z+3x\right)}+\dfrac{y^3}{\left(z+2x\right)\left(2x+3y\right)}+\dfrac{z^3}{\left(x+2y\right)\left(2y+3z\right)}$$

[Dam Uoc Mo]

Cho $x,\,y,\,z>0$ thỏa $x^2y^2z^2+\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\ge x+y+z+xy+yz+zx+3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=\dfrac{x^3}{\left(y+2z\right)\left(2z+3x\right)}+\dfrac{y^3}{\left(z+2x\right)\left(2x+3y\right)}+\dfrac{z^3}{\left(x+2y\right)\left(2y+3z\right)}$$

Thu gọn GT ta có $(xyz)^{2}+xyz-2\geq 0\Leftrightarrow xyz\geq 1.$

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số có: $\frac{x^{3}}{(y+2z)(2z+3x)}+\frac{2z+3x}{75}+\frac{y+2z}{45}\geq 3.\frac{x}{15}=\frac{x}{5}$

Tương tự với 2 số còn lại của VT rồi cộng 3 BĐT theo vế cóỞ đây chỉ viết dạng bđt đã thu gọn nhé)
$VT\geq \frac{x+y+z}{15}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{15}\geq \frac{1}{15}.\blacksquare$
 

Edited by Dam Uoc Mo, 14-05-2014 - 09:12.