8 replies to this topic

[Alexman113]

Cho ba số $a,\,b,\,c>0$ thỏa mãn $3\left(a^4+b^4+c^4\right)-7\left(a^2+b^2+c^2\right)+12=0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$P = \dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}$$

[Viet Hoang 99]

Từ GT ta có:

$0=3\sum a^4-7\sum a^2+12\geq \sum a^2-7\sum a^2+12=-6\sum a^2+12\Leftrightarrow \sum a^2\geq 2$

Làm được tiếp không nhỉ?

[canhhoang30011999]

 

Từ GT ta có:

$0=3\sum a^4-7\sum a^2+12\geq \sum a^2-7\sum a^2+12=-6\sum a^2+12\Leftrightarrow \sum a^2\geq 2$

Làm được tiếp không nhỉ?

 

hình như phải là $3\sum a^{4}-7\sum a^{2}+12\geq (\sum a^{2})^{2}-7\sum a^{2}0+12$

$\Rightarrow 3\leq \sum a^{2}\leq 4$

chứ

[buitudong1998]

Cho ba số $a,\,b,\,c>0$ thỏa mãn $3\left(a^4+b^4+c^4\right)-7\left(a^2+b^2+c^2\right)+12=0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$P = \dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}$$

Từ GT suy ra: $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-7(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12\leqslant 0\rightarrow 3\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 4$

Ta có: $P=\sum \frac{a^{^{4}}}{a^{2}b+2a^{2}c}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{2}b+2\sum ab^{2}}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{(a+b+c)\sum a^{2}}{3}+2\frac{(a+b+c)\sum a^{2}}{3}}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}\geqslant 1$

[Viet Hoang 99]

hình như phải là $3\sum a^{4}-7\sum a^{2}+12\geq (\sum a^{2})^{2}-7\sum a^{2}0+12$

$\Rightarrow 3\leq \sum a^{2}\leq 4$

chứ

à nhầm, thế thì làm được rồi

BCS dạng cộng mẫu

Edited by Viet Hoang 99, 18-05-2014 - 07:59.

[lahantaithe99]

Cho ba số $a,\,b,\,c>0$ thỏa mãn $3\left(a^4+b^4+c^4\right)-7\left(a^2+b^2+c^2\right)+12=0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$P = \dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}$$

Có đúng không nhỉ???

 

Từ GT $a^2+b^2+c^2\geqslant 3$

 

Có $P=\sum \frac{a^4}{ba^2+2a^2c}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a+2ab^2+2bc^2+2ca^2}$

 

Bằng $AM-GM$ ta chứng  minh được 

 

$a^2b+b^2c+c^2a+2ab^2+2bc^2+2ca^2\leqslant (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

 

$\Rightarrow P\geqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\geqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geqslant 1$

Edited by lahantaithe99, 14-05-2014 - 22:01.

[nguyenhongsonk612]

Có đúng không nhỉ???

 

Từ GT $a^2+b^2+c^2\geqslant 3$

 

Có $P=\sum \frac{a^4}{ba^2+2a^2c}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a+2ab^2+2bc^2+2ca^2}$

 

Bằng $AM-GM$ ta chứng  minh được 

 

$a^2b+b^2c+c^2a+2ab^2+2bc^2+2ca^2\leqslant (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

 

$\Rightarrow P\geqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\geqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geqslant 1$

Cái bước cuối là như thế nào vậy lahan, câu giải thích giúp tớ nhé, chưa hiểu

[lahantaithe99]

Cái bước cuối là như thế nào vậy lahan, câu giải thích giúp tớ nhé, chưa hiểu

thì do $(x+y+z)^2\leqslant 3(x^2+y^2+z^2)$ suy ra $x+y+z\leqslant\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$

[nguyenhongsonk612]

thì do $(x+y+z)^2\leqslant 3(x^2+y^2+z^2)$ suy ra $x+y+z\leqslant\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$

OK, Tks nhé! 

P/s: Mà sao thức đêm thế lahan

Edited by nguyenhongsonk612, 18-05-2014 - 00:51.