Cho $m\geq 2008$. CMR hệ pt sau có không quá 1 nghiệm $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+6}=(m-2008)y+1 & \\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+6}=(m-2008)x+1 & \end{matrix}\right.$
Cho $m\geq 2008$. CMR hệ pt sau có không quá 1 nghiệm $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+6}=(m-2008)y+1 & \\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+6}=(m-2008)x+1 & \end{matrix}\right.$
bạn chỉ cần lấy (1)-(2) là ok thôi
$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x+19}-\sqrt{y+19} \right )+\left ( \sqrt{x+6} -\sqrt{y+6}\right )= \left ( m-2008 \right )\left ( y-x \right )$
TH1: x> y suy ra PT vô no
TH2:y>x suy ra PT vô no
TH3 x=y
từ x=y$\Rightarrow \sqrt{x+19} -\sqrt{x+6}= \left ( m-2008 \right )x+1$
$\Leftrightarrow \frac{13}{\sqrt{x+19}+\sqrt{x+6}}=\left ( m-2008 \right )x+1$
gọi 2 no của PT :X1>X2$\Rightarrow \frac{13}{\sqrt{X1+19}+\sqrt{X1+6}}>\frac{13}{\sqrt{X2+19}+\sqrt{X2+6}}$
hay aX1+1<aX2+1 nên X1<X2(vô lý)
nên HPT chỉ có 1 no duy nhất
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megamewtwo: 20-05-2014 - 11:59
Cho $m\geq 2008$. CMR hệ pt sau có không quá 1 nghiệm $$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+6}=(m-2008)y+1 & \\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+6}=(m-2008)x+1 & \end{matrix}\right.$$
Giải :
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+6}=(m-2008)y+1 (1) \\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+6}=(m-2008)x+1 (2)\end{matrix}\right.$
$(1)- (2)\Leftrightarrow \sqrt{x+19}+ \sqrt{x+6}+ ax=\sqrt{y+19}+ \sqrt{y+6}+ ay (a= m- 2008\geq 0)$
Xét hàm số : $f(t)=\sqrt{t+19}+ \sqrt{t+6}+ at (t\geq -6)$
có :
$f'(t)=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{t+19}}+\frac{1}{\sqrt{t+6}}+ 2a \right ) >0 \forall t\in \left[-6;+\infty \right)$
Nhận thấy hàm số đồng biến trên tập xác định nên suy ra $x=y$
Thay $x=y$ vào $(1)$, ta có :
$(1)\Leftrightarrow \sqrt{x+19}- \sqrt{x+6}- ax-1=0 $
Xét hàm số: $g(x)= \sqrt{x+19}- \sqrt{x+6}- ax-1(x\geq -6)$
có :
$g'(x)= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{x+19}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}}- 2a \right)<0 \forall x\in \left[-6;+\infty \right)$
Suy ra hàm số $g(x)$ nghịch biến nên pt $g(x)=0$ chỉ có 1 nghiệm duy nhất.
Vậy hpt đã cho chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xxSneezixx: 20-05-2014 - 12:14
$$\mathfrak{Curiosity}$$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh