Chủ đề này có 3 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho $m\geq 2008$. CMR hệ pt sau có không quá 1 nghiệm $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+6}=(m-2008)y+1 & \\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+6}=(m-2008)x+1 & \end{matrix}\right.$

 

[megamewtwo]

bạn chỉ cần lấy (1)-(2) là ok thôi

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x+19}-\sqrt{y+19} \right )+\left ( \sqrt{x+6} -\sqrt{y+6}\right )= \left ( m-2008 \right )\left ( y-x \right )$

TH1: x> y suy ra PT vô no

TH2:y>x suy ra PT vô no

TH3 x=y

[megamewtwo]

từ x=y$\Rightarrow \sqrt{x+19} -\sqrt{x+6}= \left ( m-2008 \right )x+1$

$\Leftrightarrow \frac{13}{\sqrt{x+19}+\sqrt{x+6}}=\left ( m-2008 \right )x+1$

gọi 2 no của PT :X1>X2$\Rightarrow \frac{13}{\sqrt{X1+19}+\sqrt{X1+6}}>\frac{13}{\sqrt{X2+19}+\sqrt{X2+6}}$

hay aX1+1<aX2+1 nên X1<X2(vô lý)

nên HPT chỉ có 1 no duy nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megamewtwo: 20-05-2014 - 11:59

[xxSneezixx]

Cho $m\geq 2008$. CMR hệ pt sau có không quá 1 nghiệm $$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+6}=(m-2008)y+1 & \\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+6}=(m-2008)x+1 & \end{matrix}\right.$$

Giải : 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+6}=(m-2008)y+1 (1) \\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+6}=(m-2008)x+1 (2)\end{matrix}\right.$

$(1)- (2)\Leftrightarrow \sqrt{x+19}+ \sqrt{x+6}+ ax=\sqrt{y+19}+ \sqrt{y+6}+ ay (a= m- 2008\geq 0)$

Xét hàm số : $f(t)=\sqrt{t+19}+ \sqrt{t+6}+ at (t\geq -6)$ 

có :

$f'(t)=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{t+19}}+\frac{1}{\sqrt{t+6}}+ 2a \right ) >0 \forall t\in \left[-6;+\infty \right)$

Nhận thấy hàm số  đồng biến trên tập xác định nên suy ra $x=y$

Thay $x=y$ vào $(1)$, ta có : 

$(1)\Leftrightarrow \sqrt{x+19}- \sqrt{x+6}- ax-1=0 $

Xét hàm số: $g(x)=  \sqrt{x+19}- \sqrt{x+6}- ax-1(x\geq -6)$

có :

$g'(x)= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{x+19}}-\frac{1}{\sqrt{x+6}}- 2a \right)<0 \forall x\in \left[-6;+\infty \right)$

Suy ra  hàm số $g(x)$ nghịch biến nên pt $g(x)=0$ chỉ có 1 nghiệm duy nhất. 

Vậy hpt đã cho chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xxSneezixx: 20-05-2014 - 12:14