Chủ đề này có 6 trả lời

[Takamina Minami]

Câu 1 

a) Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $2013^{k}-1$ chia hết cho $10^5$

b) Tìm mọi số nguyên $x$ sao cho $x^2+28$ là số chính phương 

 

Câu 2

 a) Giải phương trình: $\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3$

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2x+y}=3-2x-y & & \\ x^2-2xy-y^2=2 & & \end{matrix}\right.$

 

Câu 3: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm min của

$$P=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}$$

 

Câu 4. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Từ điểm $M$ là điểm ngoài đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến $MA;MB$ (A,B là tiếp điểm) và cát tuyến đi qua M cắt đường tròn tại $C,D$ (C nằm giữa M và D) cung $CAD$ nhỏ hơn cung $CBD$. Gọi $E$ là giao điểm của $AB$ với  $OM$.

 a) Chứng minh $\angle DEC=2\angle DBC$

b) Từ $O$ kẻ tia $Ot$ vuông góc với $CD$ cắt tia $BA$ ở $K$. Chứng minh $KC$ và $KD$ là tiếp tuyến của đường tròn $O$

 

Câu 5 Cho đường gấp khúc khép kín có độ dài bằng $1$.Chứng minh rằng luôn tồn tại một hình tròn có bán kính $R=\dfrac{1}{4}$ chứa toàn bộ đường gấp khúc đó.

[hoctrocuaZel]

 

Câu 3: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm min của

 

$$P=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}$$

Bài làm: $VT\geq \frac{x+y+z}{2}$

Mà: $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz=1$

Nên: $(x+y+z)^2\geq 1+2.1=3$ 

Nên $P\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Đăng thức: x=y=z=$\frac{1}{\sqrt{3}}$

[Takamina Minami]

Bài 1:(4 điểm)

a) Cho $a;b$ là hai số nguyên dương khác nhau, thoả mãn $2a^2+a=3b^2+b$. Chứng minh $\dfrac{a-b}{2a+2b+1}$ là phân số tối giản.

b) Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) thoả mãn: $15x^2-7y^2=9$

Bài 2: (4 điểm)

a) Cho $\dfrac{-3}{2} \le x \le \dfrac{3}{2}; x \ne 0$ và $\sqrt{3+2x}-\sqrt{3-2x}=a$. Tính theo $a$ giá trị biểu thức $$P=\dfrac{\sqrt{6+2\sqrt{9-4x^2}}}{x}$$

b) Cho $a,b,c$ là 3 số dương thoả mãn $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=2$. Tìm giá trị lớn nhất của $Q=abc$

Bài 3: (4 điểm)

a) Giải phương trình: $(x-1)(x+2)+4(x-1)\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}=12$

b) Giải hệ phương trình: $2\sqrt{x}(1+\dfrac{1}{x+y})=3$ và $2\sqrt{y}(1-\dfrac{1}{x+y})=1$

Bài 4: (6 điểm)

CHo nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ cố định. $EF$ là dây cung di đông trên nửa đường tròn đó, sao cho $E$ thuộc cung $AF$ và $EF=\dfrac{AB}{2}=R$. Gọi $H$ là giao điểm của $AF$ và $BE; C$ là giao điểm của $AE$ và $BF; I$ là giao điểm của $CH$ và $AB$.

a) Tính số đo $\widehat{CIF}$

b) Chứng minh rằng biểu thức $AE.AC+BF.BC$ có giá trị không đổi khi $EF$ di động trên nửa đường tròn.

c) Xác định vị trí của $EF$ trên nửa đường tròn để tứ giác $ABFE$ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo $R$.

Bài 5: (2 điểm)

Tìm cạnh của hình vuông nhỏ nhất, biết rằng: hình vuông đó chứa 5 đường tròn có bán kính bằng 1 và 5 đường tròn này đôi một không có quá 1 điểm chung

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Takamina Minami: 20-05-2014 - 15:11

[hoctrocuaZel]

 

Câu 1 

 

a) Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $2013^{k}-1$ chia hết cho $10^5$

 

b) Tìm mọi số nguyên $x$ sao cho $x^2+28$ là số chính phương 

 

 

 

 

1.b nè: Giả sử x tự nhiên (x âm thì là số đối)

Khi đó: $x^2+28=t^2 (t\in N) \Leftrightarrow (t-x)(t+x)=28=2.14 \Rightarrow x=6.$

Đáp số: x=6 or -6

[BlackZero]

Câu 2a 

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{4x^2+5x+x}=a\\2\sqrt{x^2-x+1}=b \end{matrix}\right.$

Ta có $PT \Rightarrow a-b=a^2-b^2\Leftrightarrow (a-b)(a+b-1)=0$

......

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackZero: 20-05-2014 - 16:17

[Khoai Lang]

Bài 3: (4 điểm)

a) Giải phương trình: $(x-1)(x+2)+4(x-1)\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}=12$

 

$ĐK:\left\{\begin{matrix} x\neq 1 & \\ 1< x\leqslant 2& \end{matrix}\right.$

$pt \Leftrightarrow (x-1)(x-2)+4\sqrt{(x-1)(x-2)}-12=0$

Đặt $t=\sqrt{(x-1)(x-2)}(t\geqslant 0)$

$pt \Leftrightarrow t^2+4t-12=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=-6 & \\ t=2& \end{bmatrix}$

$\Rightarrow t=2 \Leftrightarrow (x-1)(x-2)=4$

$\Leftrightarrow x^2-3x-2=0$

Đến đây quá dễ rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoai Lang: 20-05-2014 - 16:55

[yeutoan2604]

Bài 1:(4 điểm)

a) Cho $a;b$ là hai số nguyên dương khác nhau, thoả mãn $2a^2+a=3b^2+b$. Chứng minh $\dfrac{a-b}{2a+2b+1}$ là phân số tối giản.

b) Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) thoả mãn: $15x^2-7y^2=9$

Bài 2: (4 điểm)

a) Cho $\dfrac{-3}{2} \le x \le \dfrac{3}{2}; x \ne 0$ và $\sqrt{3+2x}-\sqrt{3-2x}=a$. Tính theo $a$ giá trị biểu thức $$P=\dfrac{\sqrt{6+2\sqrt{9-4x^2}}}{x}$$

b) Cho $a,b,c$ là 3 số dương thoả mãn $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=2$. Tìm giá trị lớn nhất của $Q=abc$

Bài 3: (4 điểm)

a) Giải phương trình: $(x-1)(x+2)+4(x-1)\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}=12$

b) Giải hệ phương trình: $2\sqrt{x}(1+\dfrac{1}{x+y})=3$ và $2\sqrt{y}(1-\dfrac{1}{x+y})=1$

Bài 4: (6 điểm)

CHo nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ cố định. $EF$ là dây cung di đông trên nửa đường tròn đó, sao cho $E$ thuộc cung $AF$ và $EF=\dfrac{AB}{2}=R$. Gọi $H$ là giao điểm của $AF$ và $BE; C$ là giao điểm của $AE$ và $BF; I$ là giao điểm của $CH$ và $AB$.

a) Tính số đo $\widehat{CIF}$

b) Chứng minh rằng biểu thức $AE.AC+BF.BC$ có giá trị không đổi khi $EF$ di động trên nửa đường tròn.

c) Xác định vị trí của $EF$ trên nửa đường tròn để tứ giác $ABFE$ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo $R$.

Bài 5: (2 điểm)

Tìm cạnh của hình vuông nhỏ nhất, biết rằng: hình vuông đó chứa 5 đường tròn có bán kính bằng 1 và 5 đường tròn này đôi một không có quá 1 điểm chung

2b) Ta có  $\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(1+b)(1+c)}}$

      Tương tự $\frac{1}{1+b}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(1+a)(1+c)}};\frac{1}{1+c}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(1+a)(1+b)}}$

      Nhân vế ta có $\frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq \frac{8abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}\Leftrightarrow abc\leq \frac{1}{8}$