Chủ đề này có 2 trả lời

[Gioi han]

Cho các số thực$a, b, c$ không âm thỏa mãn $5(a^2+b^2+c^2)=6(ab+bc+ac)$. Tìm GTLN của biểu thức :
$P=\sqrt{2(a+b+c)} -(a^2+b^2)$

[bachhammer]

Này hình như là bài BĐT trên chuyên mục thử sức trước kì thi của THTT số tháng 5 nhỉ.....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 21-05-2014 - 15:28

[25 minutes]

Cho các số thực$a, b, c$ không âm thỏa mãn $5(a^2+b^2+c^2)=6(ab+bc+ac)$. Tìm GTLN của biểu thức :
$P=\sqrt{2(a+b+c)} -(a^2+b^2)$

Từ giả thiết ta sẽ dồn về biến $t=a+b$ bằng các đánh giá cơ bản sau

Ta có $5(a^2+b^2+c^2)=6(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 5c^2=6c(a+b)+6ab-5(a^2+b^2)$

Lại có $6ab-5(a^2+b^2)+(a+b)^2=-4(a+b)^2\leqslant 0\Rightarrow 6ab-5(a^2+b^2)\leqslant -(a+b)^2$

$\Rightarrow 5c^2=6c(a+b)+6ab-5(a^2+b^2)\leqslant 6c(a+b)-(a+b)^2$

$\Rightarrow c\leqslant a+b$

Đến đây coi như đã xong vì ta có $P\leqslant \sqrt{2(a+b+a+b)}-(a^2+b^2)\leqslant 2\sqrt{a+b}-\frac{(a+b)^2}{4}$

Đặt $t=\sqrt{a+b}\Rightarrow P\leqslant f(t)=2t-\frac{t^4}{2}\leqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow t^4+3\geqslant 4t$

BDT trên luôn đúng theo AM-GM ( hoặc biến đổi tương đương ) 

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=b=\frac{1}{2}\\ c=1 \end{matrix}\right.$