Chủ đề này có 1 trả lời

[trauvang97]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{a}{(b+2c+d)^{2}}+\frac{b}{(c+2d+a)^{2}}+\frac{c}{(d+2a+b)^{2}}+\frac{d}{(a+2b+c)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c+d}$

 

Đây là câu cuối trong đề thi chuyển hệ khối 11 trường mình. Mời các bạn cùng thảo luận

[DarkBlood]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{a}{(b+2c+d)^{2}}+\frac{b}{(c+2d+a)^{2}}+\frac{c}{(d+2a+b)^{2}}+\frac{d}{(a+2b+c)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c+d}$

 

Đây là câu cuối trong đề thi chuyển hệ khối 11 trường mình. Mời các bạn cùng thảo luận

Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có

$\left (b+2c+d \right )^2=\left (c+b+c+d \right )^2\leq \left (a+b+c+d \right )\left ( \dfrac{c^2}{a}+b+c+d \right )$

Từ đó suy ra cần chứng minh

$\sum \dfrac{a^2}{c^2+ab+ac+ad}\geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có

$\sum \dfrac{a^2}{c^2+ab+ac+ad} \geq \dfrac{\left (a+b+c+d \right )^2}{\sum a^2 +\sum \left (ab+ac+ad \right )}=1$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 21-05-2014 - 17:54