1 reply to this topic

[Vu Thuy Linh]

Cho phương trình:

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-(m+1)(x-\frac{1}{x})+m-3=0$

a. Giải phương trình khi m = 2

b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm dương phân biệt

[DANH0612]

điều kiện $x\neq 0$

đặt $t=x-\frac{1}{x}$

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}= (x-\frac{1}{x})(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}})=(x-\frac{1}{x})[(x-\frac{1}{x})^{2}+3]=t(t^{2}+3)$

pt$\Rightarrow (t-1)(t^{2}+t-m+3)=0$

a) với m=2 

pt $\Rightarrow (t-1)(t^{2}+t+1)=0\Rightarrow t=1$ vì $t^{2}+t+1 =(t+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}> 0$

b) ta có $t=x-\frac{1}{x}\Rightarrow x^{2}-tx-1=0$ ( luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi t) 

vì x₁.x₂=-1 nên phương trình $ x^{2}-tx-1=0$ có 1 ngiệm dương và 1 nghiệm âm

do đó để pt đề bài cho có đúng 2 nghiệm dương thì pt $ (t-1)(t^{2}+t-m+3)=0$ có đúng 2 nghiệm vậy pt $t^{2}+t-m+3=0$ có nghiệp kép khác 1

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-4(-m+3)=0\\ 1+1-m+3\neq 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow m=\frac{11}{4}$