Chủ đề này có 1 trả lời

[caybutbixanh]

Đặt $S_{n}=1^{2}.\sin\frac{\pi}{1}+2^{2}.\sin\frac{\pi}{2}+..+n^{2}.\sin\frac{\pi}{n}.$ Tính $\lim\frac{S_{n}}{n^{2}}$

----------------------------

[banhgaongonngon]

Đặt $S_{n}=1^{2}.\sin\frac{\pi}{1}+2^{2}.\sin\frac{\pi}{2}+..+n^{2}.\sin\frac{\pi}{n}.$ Tính $\lim\frac{S_{n}}{n^{2}}$

----------------------------

 

Dễ thấy $\left ( u_{n} \right )$ là dãy tăng ngặt và $\underset{n\rightarrow +\propto }{\lim}u_{n}=+\propto$, với $u_{n}=n^{2},\forall n\in \mathbb{N}*$

 

Ta lại có

$\frac{S_{n+1}-S_{n}}{u_{n+1}-u_{n}}=\frac{(n+1)^{2}\sin \frac{\pi }{n}}{2n+1}=\pi \frac{(n+1)^{2}}{n(2n+1)}.\frac{\sin \frac{\pi }{n}}{\frac{\pi }{n}}.$

 

Cho $n\rightarrow +\propto$ và áp dụng giới hạn cơ bản $\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin x}{x}=1$ ta được

$\underset{n\rightarrow +\propto }{\lim}\frac{S_{n+1}-S_{n}}{u_{n+1}-u_{n}}=\frac{\pi }{2}$

 

Theo định lí $Stolz$ ta có

$\boxed {\underset{n\rightarrow +\propto }{\lim}\frac{S_{n}}{n^{2}}=\underset{n\rightarrow +\propto }{\lim}\frac{S_{n}}{u_{n}}=\frac{\pi }{2}}$