Chủ đề này có 1 trả lời

[Mrnhan]

Tính diện tích giới hạn bởi các đường sau
$$\left ( \frac{x}{a} \right )^n+\left ( \frac{y}{b} \right )^n=\left ( \frac{x}{a} \right )^{n-1}+\left ( \frac{y}{b} \right )^{n-1},\, x=0,\, y=0\,\,\left ( a,\,b,\,n>0 \right )$$
P.s: Bài này nằm trong phần bài tập tích phân đường-mặt. Nhưng nếu có thể thì dùng cách khác càng tốt

[percy jackson]

Tính diện tích giới hạn bởi các đường sau
$$\left ( \frac{x}{a} \right )^n+\left ( \frac{y}{b} \right )^n=\left ( \frac{x}{a} \right )^{n-1}+\left ( \frac{y}{b} \right )^{n-1},\, x=0,\, y=0\,\,\left ( a,\,b,\,n>0 \right )$$
P.s: Bài này nằm trong phần bài tập tích phân đường-mặt. Nhưng nếu có thể thì dùng cách khác càng tốt

hébergeur d images gratuit

Để ý đường $(\frac{x}{a})^{n}+(\frac{y}{b})^{n}=(\frac{x}{a})^{n-1}+(\frac{y}{b})^{n-1}$ cắt 0x tại A(a,0),cắt Oy tại B(0,b) nên  đường miền giới hạn như trên hình vẽ.Theo quy tắc chiều dương chiều của đường đi như trên hình vẽ.

Ta có:$S=\frac{1}{2}\oint xdy-ydx=\frac{1}{2}\int_{A}^{B}+\frac{1}{2}\int_{B}^{O}+\frac{1}{2}\int_{O}^{A}$

Dễ thấy tích phân đường từ B đến O và từ O đến A=0

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}\int_{A}^{B}xdy-ydx$

Đặt $x=\frac{acos\varphi (cos^{n-1}\varphi +sin^{n-1}\varphi )}{cos^{n}\varphi +sin^{n}\varphi }$

      $y=\frac{bsin\varphi (cos^{n-1}\varphi +sin^{n-1}\varphi )}{cos^{n}\varphi +sin^{n}\varphi }$,$\varphi :0\rightarrow \frac{\Pi }{2}$

$S=\frac{1}{2}\int_{A}^{B}x^{2}d(\frac{y}{x})=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{a^{2}cos^{2}\varphi (cos^{n-1}\varphi +sin^{n-1}\varphi )^{2}}{(cos^{n}\varphi +sin^{n}\varphi )^{2}}.\frac{b}{acos^{2}\varphi }d\varphi$

   $=\frac{ab}{2}\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{(1+tan^{n-1}\varphi )^{2}}{(1+tan^{n}\varphi )^{2}}d\varphi$

   $=\frac{ab}{2}\int_{0}^{\infty }\frac{1+2t^{n-1}+t^{2n-2}}{(1+t^{n})^{2}}dt=\frac{ab}{2}(I_{1}+I_{2}+I_{3})$

Ta có:$I_{2}=2\int_{0}^{\infty }\frac{t^{n-1}}{(1+t^{n})^{2}}dt=-\frac{2}{n}.\frac{1}{1+t^{n}}=\frac{2}{n}$

$I_{1},I_{3}$ đưa về hàm Bêta là ra