Chủ đề này có 1 trả lời

[sonksnb]

Cho 4 số thực a,b,c,d thoả mãn:$a^{2}+b^{2}=1$:$c-d=3$.CMR:

$ac+bd-cd=\frac{9+6\sqrt{2}}{4}$

[25 minutes]

Cho 4 số thực a,b,c,d thoả mãn:$a^{2}+b^{2}=1$:$c-d=3$.CMR:

$ac+bd-cd=\frac{9+6\sqrt{2}}{4}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

  $P=ac+bd-cd\leqslant \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}-cd=\sqrt{c^2+d^2}-cd$

Lại có $c-d=3$ $\Rightarrow P\leqslant \sqrt{(d+3)^2+d^3}-d(d+3)=\sqrt{2d^2+6d+9}-d(d+3)=f(d)$

Xét $f'(d)=\frac{2d+3}{\sqrt{2d^3+6d+9}}-(2d+3)=0\Leftrightarrow d=\frac{-3}{2}$

Lập bảng biến thiên ta được $P\leqslant f(d)\leqslant \frac{9+6\sqrt{2}}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 12-06-2014 - 11:37