Chủ đề này có 1 trả lời

[leduylinh1998]

CMR: Tam giác ABC đều khi thỏa mãn hệ thức:

$cos2A+cos2B+cos2C=-\frac{3}{2}$

[hoctrocuanewton]

CMR: Tam giác ABC đều khi thỏa mãn hệ thức:

$cos2A+cos2B+cos2C=-\frac{3}{2}$

Xét 

$P=cos2A+cos2B+cos2C+cos\frac{2\pi }{3}$

 

$=2cos(A+B).cos(A-B)+2\cos (C+\frac{\pi }{3})\cos (c-\frac{\pi }{3})$

 

$\leq 2(\cos(A+B)+\cos (C+\frac{\pi }{3}))$ ( Vì $0<\cos (A-B),\cos (C-\frac{\pi }{3})\leq 1$)

 

$= 4\cos \frac{A+B+C+\frac{\pi }{3}}{2}.\cos \frac{A+B-C-\frac{\pi }{3}}{2}$

 

$\leq  4\cos \frac{A+B+C+\frac{\pi }{3}}{2}$( Vì $0<\cos \frac{A+B-C-\frac{\pi }{3}}{2}\leq 1$)

 

$= 4\cos \frac{2\pi }{3}$

 

Vậy $P\leq 4\cos \frac{2\pi }{3}\Rightarrow \sum \cos 2A\leq 3\cos \frac{2\pi }{3}=\frac{-3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $A=B=C=\frac{\pi }{3}$ 

 

Mà theo đề bài ta có tam giác ABC thỏa mãn $cos2A+cos2B+cos2C=-\frac{3}{2}$ nên suy ra tam giác đó là tam giác đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 28-08-2014 - 17:42