Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR: $\sum \sqrt{a}\leqslant \sum \sqrt{\frac{a+2b}{3}}$
CMR: $\sum \sqrt{a}\leqslant \sum \sqrt{\frac{a+2b}{3}}$
#2
Posted 01-06-2014 - 21:55
Bình phương 2 vế của bđt ta cần chứng minh
$a+b+c+2\sum{\sqrt{ab}} \leq a+b+c+\frac{2}{3}(\sum{\sqrt{(a+2b)(b+2c)}})$
hay $3\sum{\sqrt{ab}} \leq(\sum{\sqrt{(a+2b)(b+2c)}}$
mà theo bất đẳng thức Bunhacopxki thì $\sum{(a+2b)(b+2c)} \geq {(b+\sqrt{ac}+\sqrt{bc})^2}$
suy ra bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về bất đẳng thức quen thuộc $a+b+c \geq \sum{\sqrt{ab}}$
vậy ta có đpcm
Edited by simplyAshenlong, 01-06-2014 - 21:55.
- hoctrocuanewton and mnguyen99 like this
#3
Posted 02-06-2014 - 10:58
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR: $\sum \sqrt{a}\leqslant \sum \sqrt{\frac{a+2b}{3}}$
Thế này luôn cho nhanh
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{b}\leqslant 3\sqrt{\frac{a+2b}{3}}$
Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại ta có đpcm
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users