Cho 2 tập hợp A và B thỏa mãn:
i, Mỗi phần tử của cả 2 phần tử đều nhỏ hơn 2008
ii, Tổng số phàn tử của 2 tập hợp lớn hơn 2008
CMR: tồn tại 2 phần tử ở 2 tập hợp trên mà tổng của chúng = 2008
Trước tiên, sr I Am Gifted So Are You nhưng ở điều kiện 1) hình như phải là: mỗi tập hợp đều gồm các số nguyên dương khác nhau và nhỏ thua 2008
Bài giải:
Giả sử các phần tử của $A$ và $B$ tương ứng là $a_1,a_2,a_3,...,a_m$ và $b_1,b_2,b_3,...b_n$, ta có $m+n>2008$ (gt).
Xét $n$ số $c_i$ sau đây: $c_i=2008-b_i$ ($i=1,2,3,...,n$).
Vì các phần tử của B đôi một khác nhau nên các số $c_i$ cũng đôi một khác nhau ($1$), hơn nữa mọi số $b_i$ đều là số tự nhiên
lớn hơn $0$ nên mọi số $c_i$ cũng là số tự nhiên nhỏ hơn $2008$.
Do đó ta có $m+n$ số tự nhiên nhỏ hơn $2008$ sau đây: $a_1,a_2,a_3,...,a_m,c_1,c_2,c_3,...,c_n$
Vì chỉ có $2008$ số tự nhiên nhỏ hơn $2008$ trong khi $m+n>2008$ nên trong dãy này phải có hai số bằng nhau.
Do ($1$) và điều kiện $i$) nên một và chỉ một trong hai số đó phải thuộc $A$: Giả sử hai số bằng nhau đó là: $a_i=c_k$.
Vậy $a_i=2008-b_k$ hay $a_i+b_k=2008$
Edited by Forgive Yourself, 24-07-2014 - 15:38.