Chủ đề này có 5 trả lời

[ldvhuy09]

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=3$, tìm Max của $P=\sum \sqrt{a^{2}+a+4}$

[lovemath99]

Chứng minh cái này bằng biến đổi tương đương:

$$\sqrt{a^2+a+4} \le \sqrt{6}(1+\dfrac{a-1}{4})$$

Mấy cái kia làm tương tự rồi cộng lại...Tính được max là $3\sqrt{6}$ tại $a=b=c=1$

[ldvhuy09]

sai rồi bạn, vs $a=3,b=c=0$ thì $P=8$ lận 

[megamewtwo]

sai rồi bạn, vs $a=3,b=c=0$ thì $P=8$ lận 

bạn ơi $a=3;b=0;c=0\Rightarrow P=4$ mà

[lahantaithe99]

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=3$, tìm Max của $P=\sum \sqrt{a^{2}+a+4}$

 

Bài này theo mình cần thêm điều kiện $a,b,c$ không âm bạn à!

 

Khi đó không mất tính tổng quát giả sử $c=max\left \{ a,b,c \right \}$ 

 

Áp dụng BĐT dạng $\sqrt{u}+\sqrt{v}\leqslant \sqrt{2(u+v)}$ $(1)$ thì

 

$\sqrt{a^2+a+4}+\sqrt{b^2+b+4}\leqslant \sqrt{2(a^2+b^2+a+b+8)}$

 

Tiếp tục áp dụng $(1)$

 

$\sqrt{2(a^2+b^2+a+b+8)}+\sqrt{c^2+c+4}\leqslant \sqrt{2(2a^2+2b^2+2a+2b+16+c^2+c+4)}$

 

$\Leftrightarrow p\leqslant \sqrt{4a^2+4b^2+2c^2+2(a+b+c)+2(a+b)+40}$

 

$\Leftrightarrow P\leqslant \sqrt{(2a+2b+c)^2+c^2+52-2c-(8ab+4bc+4ac)}$

 

$\leqslant \sqrt{(2a+2b+c)^2+c^2+52-2c}$ (do $8ab+4ac+4bc\geqslant 0$ với $a,b,c$ không âm)

 

$\Leftrightarrow P\leqslant \sqrt{(6-c)^2+c^2+52-2c}=\sqrt{2c^2+88-14c}$

 

$\Leftrightarrow P\leqslant \sqrt{2(c-3,5)^2+\frac{127}{2}}\leqslant \sqrt{2(3-3,5)^2+\frac{127}{2}}=8$

 

 (do $c=3-a-b\leqslant 3$)

 

Dấu $=$ xảy ra với $(a,b,c)=(0;0;3)$ và hoán vị

[ldvhuy09]

còn cách nào ko bạn