Chủ đề này có 1 trả lời

[Gioi han]

Cho $x, y, z>0$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P= \frac{x^2y}{z^3}+\frac{y^2z}{x^3}+\frac{z^2x}{y^3}+\frac{4xyz}{x^2y+y^2+z^2x}$

@Mod: chú ý cách đặt tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 07-06-2014 - 12:42

[NDP]

Cho $x, y, z>0$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P= \frac{x^2y}{z^3}+\frac{y^2z}{x^3}+\frac{z^2x}{y^3}+\frac{4xyz}{x^2y+y^2+z^2x}$

Lời giải

Ta có

+)$\frac{x^{2}y}{z^{3}}+\frac{z}{y}\geq 2\frac{x}{z}$

+)$\frac{y^{2}z}{x^{3}}+\frac{x}{z}\geq 2\frac{y}{x}$

+)$\frac{z^{2}x}{y^{3}}+\frac{y}{x}\geq 2\frac{z}{y}$

Vây $\frac{x^{2}y}{z^{3}}+\frac{y^{2}z}{x^{3}}+\frac{z^{2}x}{y^{3}}\geq \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}=\frac{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x}{xyz}$

Lúc đó

P$\geq \frac{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x}{xyz}+\frac{4xyz}{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x}$

    =$\frac{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x}{xyz}+\frac{9xyz}{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x}-\frac{5xyz}{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x}$

     $\geq 6-\frac{5}{3}=\frac{13}{3}$

Dấu '=' xẩy ra khi a=b=c