Cho tam giác nhọn ABC, tìm GTNN của $P=\frac{tan^5A+tan^5B+tan^5C}{tanA+tanB+tanC}$
Tìm min: $P=\frac{tan^5A+tan^5B+tan^5C}{tanA+tanB+tanC}$
#1
Đã gửi 09-06-2014 - 10:16
#2
Đã gửi 09-06-2014 - 13:55
Cho tam giác nhọn ABC, tìm GTNN của $P=\frac{tan^5A+tan^5B+tan^5C}{tanA+tanB+tanC}$
Đặt $\left ( x,y,z \right )=\left ( \tan A, \tan B, \tan C \right )$ thì $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ x+y+z=xyz \end{matrix}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức $Holder$
$x^{5}+y^{5}+z^{5}\geq \frac{1}{3^{4}}\left ( x+y+z \right )^{5}$
Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta thấy
$x+y+z=xyz\leq \left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^{3}$
$\Rightarrow x+y+z\geq 3\sqrt{3}$
Do đó $x^{5}+y^{5}+z^{5}\geq \left ( \frac{3\sqrt{3}}{3} \right )^{4}\left ( x+y+z \right )=9\left ( x+y+z \right )$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C=\pi /3$
- caybutbixanh và RoyalMadrid thích
#3
Đã gửi 10-06-2014 - 08:21
Đặt $\left ( x,y,z \right )=\left ( \tan A, \tan B, \tan C \right )$ thì $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0\\ x+y+z=xyz \end{matrix}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức $Holder$
$x^{5}+y^{5}+z^{5}\geq \frac{1}{3^{4}}\left ( x+y+z \right )^{5}$
Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta thấy
$x+y+z=xyz\leq \left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^{3}$
$\Rightarrow x+y+z\geq 3\sqrt{3}$
Do đó $x^{5}+y^{5}+z^{5}\geq \left ( \frac{3\sqrt{3}}{3} \right )^{4}\left ( x+y+z \right )=9\left ( x+y+z \right )$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C=\pi /3$
Bạn có thể viết rõ chỗ sử dụng bất đẳng thức Holer được không. Nếu đk thì cm hộ mình vs
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh