Chủ đề này có 2 trả lời

[SPhuThuyS]

$x,y,z\geqslant 0,x+y+z=1$

CMR: $\sum \frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}\leqslant \frac{7}{2}$

 

[NDP]

Đầu bài mình nghĩ là $\sum _{cyc}\frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}$

Lời giải

*)Cách 1
TH1 : Giả sử x$\geq y\geq z$
Xét f(z)=$\frac{y^{2}+1}{z^{2}+1}+\frac{z^{2}+1}{x^{2}+1}$
 $\Rightarrow f^{'}(z)=2z\frac{(z^{2}+1)^{2}-(x^{2}+1)(y^{2}+1)}{(z^{2}+1)^{2}(x^{2}+1)}\leq 0$
Vậy f(z)$\leq f(0) $
Do đó ta chỉ cần chứng minh  K=$\frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}+y^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\leq \frac{7}{2}$ với giả thiết lúc này là x+y=1  
Hay K=$\frac{x^{2}+1}{(x-1)^{2}+1}+(x-1)^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\leq \frac{5}{2}$ (*)
Ta sẽ chứng minh (*) đúng với x$\varepsilon (0;1]$
Ta có (*) $\Leftrightarrow (1-x).x.\frac{-2x^{4}+6x^{3}-7x^{2}+3x-6}{2(x^{2}+1)[(x-1)^{2}+1]}$
Do x$\varepsilon (0;1]$ nên $\begin{cases}
 & \text{  } x(1-x)\geq 0  \\
 & \text{  } -2x^{4}+6x^{3}-7x^{2}+3x-6<0  
\end{cases}$
Nên (*) được chứng minh dấu '=' xẩy ra khi x=1,y=z=0
TH2 : Giả sử z$\geq y\geq x$
Xét f(x)=$\frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}+\frac{z^{2}+1}{x^{2}+1}$
$\Rightarrow f^{'}(x)=2x\frac{(x^{2}+1)^{2}-(y^{2}+1)(z^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}(y^{2}+1)}<0$
Vậy f(x)$\leq f(o)$
Vậy ta chỉ cần chứng minh cho $\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}+1}{z^{2}+1}+z^{2}+1$ với giả thiết y+z=1
Đến đây làm tương tự trường hợp (1)

*)Cách 2

Ta có $\frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}=x^{2}+1-\frac{y^{2}(x^{2}+1)}{y^{2}+1}\leq x^{2}+1-\frac{y^{2}(x^{2}+1)}{2}$

Tương tự ta có :

  P=$\sum _{cyc}\frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}\leq 3+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}-x^{2}y^{2}-y^{2}z^{2}-z^{2}x^{2}}{2}$

     $\leq 3+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx}{2}=3+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}=\frac{7}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NDP: 11-06-2014 - 16:38

[KietLW9]

$x,y,z\geqslant 0,x+y+z=1$

CMR: $\sum \frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}\leqslant \frac{7}{2}$

Lời giải. Từ giả thiết suy ra $0\leqslant x,y,z\leqslant 1\Rightarrow x^2+1,y^2+1,z^2+1\leqslant 2$

Ta có: $\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}=\left [ (x^2+1)-\frac{y^2(x^2+1)}{y^2+1} \right ]+\left [ (y^2+1)-\frac{z^2(y^2+1)}{z^2+1} \right ]+\left [ (z^2+1)-\frac{x^2(z^2+1)}{x^2+1} \right ]\leqslant (x^2+y^2+z^2+3)-\frac{(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+(x^2+y^2+z^2)}{2}\leqslant (x^2+y^2+z^2+3)-\frac{x^2+y^2+z^2}{2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+3=\frac{(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)}{2}+3\leqslant \frac{(x+y+z)^2}{2}+3=\frac{7}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $x,y,z$ có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1