Chủ đề này có 6 trả lời

[liethaugia]

Câu 1 (2 điểm). Cho biểu thức:

a) Rút gọn P.

b) Xác định x nguyên sao cho P nguyên.

Câu 2 (2 điểm). Giải hệ phương trình sau:

Câu 3 (2điểm).

Tìm số tự nhiên n sao cho A = n⁶ - n⁴ + 2n³ + 2n² là một số chính phương.

Câu 4 (3 điểm).

Cho đường tròn (O) và dây cung BC không là đường kính. Gọi A là điểm chính giữa của cung lớn BC. Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại S. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB và M là trung điểm của CH. Tia AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N.

a) Gọi D là giao điểm của SA với BC. Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp.

b) Tia SN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E. Chứng minh rằng CE song song với SA.

c) Chứng minh đường thẳng CN đi qua trung điểm của đoạn thẳng SD.

Câu 5 (1 điểm).

Xét tập X = {1; 2; 3; … ; 2012}. Tô màu các phần tử của X bởi một trong 5 màu: xanh, đỏ, tím, vàng, nâu. Chứng minh rằng tồn tại ba phần tử phân biệt a, b, c của X cùng màu sao cho: a là bội của b và b là bội của c.

[nguyenhongsonk612]

Câu 2 (2 điểm). Giải hệ phương trình sau:

 

Không biết có đúng không?

Lời giải:

PT$(1)$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}=2y+1-x$. Đk: $2y+1>x$

Bình phương 2 vế ta được:

$4y^2+4y-4xy-2x=0$

PT $(2)$ $\Leftrightarrow \sqrt{y^2+1}=2x+1-y$. Đk: $2x+1>y$

Bình phương 2 vế, ta được:

$4x^2+4x-4xy-2y=0$

Như vậy ta có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} 4x^2+4x-4xy-2y=0 & & \\ 4y^2+4y-4xy-2x=0 & & \end{matrix}\right.$

Trừ vế với vế của từng pt ta được:

$(x-y)(4x+4y+6)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y & & \\ y=\frac{-3}{2}-x & & \end{bmatrix}$

Với $x=y$. Thay vào PT$(1)$, ta có:

$x+\sqrt{x^2+1}=2x+1\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}=x+1$. Đk: $x> -1$

Bình phương 2 vế, ta có:

$x^2+1=x^2+2x+1\Rightarrow x=0\Rightarrow y=0$. Thử lại thấy thỏa mãn.

Với $y=\frac{-3}{2}-x$. Thay vào $PT(1)$, ta được

$\sqrt{x^2+1}=-3x-2$ Đk: $x<\frac{-2}{3}$

Bình phương 2 vế ta được:

$8x^2+12x+3=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{-3-\sqrt{3}}{4}\Rightarrow y=\frac{-3+\sqrt{3}}{4} & & \\ x=\frac{-3+\sqrt{3}}{4}(L) & & \end{bmatrix}$

Thử lại đều không thỏa mãn. 
Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x;y)$ duy nhất là$(0;0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 12-06-2014 - 00:42

[Ngoc Hung]

Câu 2: Trừ theo vế 2 phương trình cho nhau được $3(x-y)+\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{y^{2}+1}=0$

$\Leftrightarrow 3(x-y)+\frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}}=0$

$\Leftrightarrow (x-y)\left ( 3+\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}} \right )=0$. Ta có x = y

Mặt khác cộng 2 vế của pt lại ta có $x+y+2=\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}>2\Rightarrow x+y>0$

Do đó $3+\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}}+1}>0$

Vậy chỉ có x = y suy ra nghiệm của pt là x = y = 0

[Ngoc Hung]

Câu 3: Ta có $A=n^{2}(n^{4}-n^{2}+2n+2)$. Xét n = 0; n = 1 thỏa mãn. Xét n = 2 không thỏa mãn

Với n > 3. Vì A là số chính phương nên $n^{4}-n^{2}+2n+2=k^{2}$. (k là số tự nhiên lớn hơn 1)

Ta có $n^{2}-2n-2=2(n-2)-2\geq 3(3-2)-2>0\Rightarrow k^{2}<n^{4} hay k<n^{2}$

Mặt khác $k^{2}-(n^{2}-1)^{2}=n^{2}+2n+1>0\Rightarrow k^{2}>(n^{2}-1)^{2}\Rightarrow k>n^{2}-1$

Do đó $n^{2}-1<k<n^{2}$. Vô lí

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 12-06-2014 - 08:36

[Ngoc Hung]

Câu 1:

[Ngoc Hung]

Bài 4:

[Love Math forever]

 

Câu 1 (2 điểm). Cho biểu thức:

a) Rút gọn P.

b) Xác định x nguyên sao cho P nguyên.

Câu 2 (2 điểm). Giải hệ phương trình sau:

Câu 3 (2điểm).

Tìm số tự nhiên n sao cho A = n⁶ - n⁴ + 2n³ + 2n² là một số chính phương.

Câu 4 (3 điểm).

Cho đường tròn (O) và dây cung BC không là đường kính. Gọi A là điểm chính giữa của cung lớn BC. Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại S. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB và M là trung điểm của CH. Tia AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N.

a) Gọi D là giao điểm của SA với BC. Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp.

b) Tia SN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E. Chứng minh rằng CE song song với SA.

c) Chứng minh đường thẳng CN đi qua trung điểm của đoạn thẳng SD.

Câu 5 (1 điểm).

Xét tập X = {1; 2; 3; … ; 2012}. Tô màu các phần tử của X bởi một trong 5 màu: xanh, đỏ, tím, vàng, nâu. Chứng minh rằng tồn tại ba phần tử phân biệt a, b, c của X cùng màu sao cho: a là bội của b và b là bội của c.

 

Đề chuyên hay đề thường mà khó phết. Ai post câu 5 lên đi.