Chủ đề này có 3 trả lời

[summoned skull]

Cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng $ \sqrt{3} $. Với $a, b, c$ là độ dài các cạnh của tam giác, chứng minh rằng: $abc \ge 8$

[banhgaongonngon]

Cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng $ \sqrt{3} $. Với $a, b, c$ là độ dài các cạnh của tam giác, chứng minh rằng: $abc \ge 8$

 

Áp dụng bất đẳng thức $\sin A.\sin B. \sin C\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$ ta có

$abc=8R^{3}\sin A. \sin B. \sin C \leq 3\sqrt{3}R^{3}$

 

Mặt khác

$S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow abc=4\sqrt{3}R$

 

Do đó

$3\sqrt{3}R^{3}\geq 4\sqrt{3}R\Rightarrow R\geq \frac{2}{\sqrt{3}}$

 

Từ đó suy ra

$abc=4\sqrt{3}R\geq 8$

[summoned skull]

Áp dụng bất đẳng thức $\sin A.\sin B. \sin C\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$ ta có

$abc=8R^{3}\sin A. \sin B. \sin C \leq 3\sqrt{3}R^{3}$

 

Mặt khác

$S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow abc=4\sqrt{3}R$

 

Do đó

$3\sqrt{3}R^{3}\geq 4\sqrt{3}R\Rightarrow R\geq \frac{2}{\sqrt{3}}$

 

Từ đó suy ra

$abc=4\sqrt{3}R\geq 8$

Bạn có thể chứng minh giúp mình $\sin A.\sin B. \sin C\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$  được không? 

[buitudong1998]

Bạn có thể chứng minh giúp mình $\sin A.\sin B. \sin C\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$  được không? 

Ta có: $sinA.sinB.sinC\leqslant (\frac{sinA+sinB+siC}{3})^{3}$

Thay vì CM BĐT trên ta CM: 

$sinA+sinB+sinC\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng BĐT:

$sinA+sinB\leqslant 2sin\frac{A+B}{2}\rightarrow sinA+sinB+sinC+sin60\leqslant 2(sin\frac{A+B}{2}+sin\frac{C+60}{2})\leqslant 4sin\frac{A+B+C+60}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{2}\rightarrow (DPCM)$