Chủ đề này có 2 trả lời

[minhdoan]

cho  $x,y,z  dương  thỏa  mãn  5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=6(xy+yz+zx)$. Tìm GTNN $P=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 13-06-2014 - 10:25

[banhgaongonngon]

cho  $x,y,z  dương  thỏa  mãn  5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=6(xy+yz+zx)$. Tìm GTNN $P=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

 

Mình thấy $P$ chỉ có giá trị lớn nhất thôi thì phải

 

Nếu là tìm giá trị lớn nhất thì có thể làm như sau

 

Từ giả thiết ta thấy

$5x^{2}-6\left ( y+z \right )x+5y^{2}+5z^{2}-6yz=0$

 

Để có $x$ thì

$\Delta ' = -16y^{2}-16z^{2}+48yz\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{5}}{2}\leq \frac{y}{z}\leq \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

 

Tương tự ta có

$\frac{3-\sqrt{5}}{2}\leq \frac{x}{y},\frac{z}{x}\leq \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

 

Lại có

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$

 

Do đó ta có thể đưa bài toán về bài toán dưới đây

 

"Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c\in \left [ \frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right ]\\ abc=1 \end{matrix}\right.$

 

Tìm giá trị lớn nhất của $Q=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$"

 

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $\frac{3+\sqrt{5}}{2}\geq b\geq c\geq a\geq \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

 

Do $abc=1$ nên ta có thể viết lại $Q$ dưới dạng

$Q=a+b+ab+\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab}$

 

Cố định $b$, $Q$ trở thành hàm số theo biến $a$. Ta có

$Q'(a)=(1+b)\left ( 1-\frac{1}{a^{2}b} \right )=(1+b)\left ( 1-\frac{c}{a} \right )\leq 0$

 

Do đó $Q(a)$ là hàm không tăng

 

Lại có

$Q'(b)=(1+a)\left ( 1- \frac{1}{ab^{2}}\right )=(1+a)\left ( 1-\frac{c}{b} \right )\geq 0$

 

Nên $Q(b)$ là hàm không giảm

 

Từ đó suy ra

$Q(a,b)\leq Q\left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2},b \right )\leq Q\left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )=8$

 

Vậy $Q\leq 8$, dấu "=" xảy ra khi $\left ( a,b,c \right )=\left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2},1 \right )$

 

Kết luận: Giá trị lớn nhất của $P$ bằng 11

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 14-06-2014 - 14:32

[25 minutes]

cho  $x,y,z  dương  thỏa  mãn  5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=6(xy+yz+zx)$. Tìm GTNN $P=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Từ giả thiết ta có $5x^2=6x(y+z)+6yz-5(y^2+z^2)\leqslant 6x(y+z)-(y+z)^2$

    $\Rightarrow \left [ x-(y+z) \right ]\left [ 5x-(y+z) \right ]\leqslant 0\Rightarrow t=\frac{x}{y+z} \in \left [ \frac{1}{5},1 \right ]$

Ta có $P=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geqslant (x+y+z)(\frac{4}{y+z}+\frac{1}{x})=5+\frac{4x}{y+z}+\frac{y+z}{x}=5+4t+\frac{1}{t}$

Với $t \in \left [ \frac{1}{5};1 \right ]$

 

Do đó $Q(a)$ là hàm không tăng

Nên $Q(b)$ là hàm không giảm

Từ đó suy ra

$Q(a,b)\leq Q\left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2},b \right )\leq Q\left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )=8$

 

Em giải thích chỗ này được không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 20-06-2014 - 11:53