Chủ đề này có 7 trả lời

[1414141]

Có tồn tại hay không hàm số  $f(x)$ là hàm khả vi liên tục thỏa mãn $f(x)>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

 

mà $f(f(x))=f'(x)$

 

[Nxb]

Ta hãy chú ý đến đồ thị trên (mình copy từ trang k2pi): có thể thấy với những hàm kiểu đó, $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=0$.

Do $f(x)>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên ta có $f^{'}(x) >0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó $f$ đơn điệu tăng, $f'=f^{2}$ cũng đơn điệu tăng. Mặt khác $f$ bị chặn dưới bởi $0$ nên tồn tại $a=\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$. Ta có $\lim_{x \rightarrow -\infty} f'(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty} f(f(x))=f(a)>0$ (như đồ thị trên, ta sẽ thấy có vấn đề). Do $f'$ đơn điệu tăng nên $f(a)=\inf f^{'}$, từ đó ta có với mọi $x<0$ thì $f(0)-f(x)=-xf'(m) \geq -xf(a)$, qua giới hạn hai vế khi $x \rightarrow -\infty$, chú ý $f(a)>0$, ta được:

$$f(0)-a \geq +\infty$$

Đây là điều vô lý nên không tồn tại hàm $f$ nào thoả mãn điều kiện bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 15-06-2014 - 18:30

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Cái nhận xét về limit ở dòng đầu tiên làm sao mà có vậy bạn?

[Nxb]

Cái nhận xét về limit ở dòng đầu tiên làm sao mà có vậy bạn?

Hàm f trong đồ thị tương tự như trong hàm f ở đề bài, bạn nhìn vào đồ thị sẽ thấy. Vẽ một tiếp tuyến tại điểm $x_0$ bất kì, khi $x_0$ càng nhỏ, ra trừ vô cực thì tiếp tuyến đó càng gần với đường tiệm cận.

[1414141]

k2pi.net-1255tc.png
Ta hãy chú ý đến đồ thị trên (mình copy từ trang k2pi): có thể thấy với những hàm kiểu đó, $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=0$.
Do $f(x)>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên ta có $f^{'}(x) >0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó $f$ đơn điệu tăng, $f'=f^{2}$ cũng đơn điệu tăng. Mặt khác $f$ bị chặn dưới bởi $0$ nên tồn tại $a=\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$. Ta có $\lim_{x \rightarrow -\infty} f'(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty} f(f(x))=f(a)>0$ (như đồ thị trên, ta sẽ thấy có vấn đề). Do $f'$ đơn điệu tăng nên $f(a)=\inf f^{'}$, từ đó ta có với mọi $x<0$ thì $f(0)-f(x)=-xf'(m) \geq -xf(a)$, qua giới hạn hai vế khi $x \rightarrow -\infty$, chú ý $f(a)>0$, ta được:
$$f(0)-a \geq +\infty$$
Đây là điều vô lý nên không tồn tại hàm $f$ nào thoả mãn điều kiện bài toán.

Mình vẫn ko hỉểu tại sao những hàm kiểu này lim âm vô cùng lại về 0.

Còn cách cậu liên hệ đồ thị, theo cách cậu chứng minh mình thấy nó có lim âm vô cùng tức là có tiệm cận ngang rùi, và đồng biến nữa,trên cơ sở nào nữa mà đồ thị hàm số của đề giống đồ thị cậu vẽ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1414141: 19-06-2014 - 10:12

[Nxb]

Bạn vẽ tiếp tuyến như trên tớ bảo ấy. Tóm lại để tớ giải thích ý tớ rõ hơn: ban đầu tớ muốn vẽ thử đồ thị của hàm f ở đề bài qua những phát hiện sau:

1. f đơn điệu tăng

2. f' đơn điệu tăng

3. f bị chặn dưới bởi 0

4. f' bị chặn dưới bởi 0

Nhằm tìm hiểu xem hàm f nó phải như thế nào, và đây là cách để dẫn dắt đến lời giải, không cần thiết phải chính xác. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 19-06-2014 - 10:19

[1414141]

Sao cậu nghĩ ra cách dùng lagrang vâỵ, mà những bài ntn cậu còn nhớ dạng nào liên quan ko.

[1414141]

Giả sử hàm số $f$ khả vi liên tục cấp 2 trên $(0,+\infty)$ thoả mãn $\lim_{x \to +\infty}xf(x)=0$ và $\lim_{x \to +\infty}xf''(x)=0$
Chứng minh rằng $\lim_{x \to +\infty}xf'(x)=0$
Cậu gợi ý mình bài này với.