Chủ đề này có 7 trả lời

[mnguyen99]

Đề thi chuyên toán vòng 2 trường Đại học Khoa Học Huế

Thời gian làm bài : 150 phút

 

Câu I.

1.Chứng mnh rằng : Giá trị $P$ không phụ thuộc $x$.

$P=\frac{2x}{x+3\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+10}{x+5\sqrt{x}+6}$

2.Cho bốn số nguyên thoả $a+b=c+d$ và $ab+1=cd$.

Chứng minh rằng: $c=d$

Câu II.

1. Giải phương trình :

                 $x^{2}+8\sqrt{x+8}=5x+20$

2. Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix}x^{3}+2y^{2}=16 \\y^{3}+2x^{2}=16 \end{matrix}\right.$

Câu III.

         Cho phương trình  $x^{4}-2(m^{2}+2)x^{2}+4m^{2}+2m+2=0$ $(1)$, trong đó $m$ là tham số thực.

         1. Chứng minh :  với mọi $m$ phương trình $(1)$ luôn có 4 nghiệm phân biệt $a,b,c,d$.

         2.Tìm $m$ biết $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=24$

Câu IV.

         Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, đường cao $AH$. Dựng đường tròn $(S)$ tâm $A$ và có bán kính nhỏ hơn $AH$. Từ $B$ vẽ tiếp tuyến $BE$ với đường tròn $(S)$ ($E$ tiếp điểm). Đường thẳng $HE$ cắt $(S)$ tại điểm thứ hai là $F$.Chứng minh rằng :

         1.Tam giác $AEF$ đồng dạng $ABC$
         2.Đường thẳng $CF$ là tiếp tuyến với $(S)$

Câu V.

         Có 20 đội bóng thi đấu(kết quả chỉ có thắng hoặc thua) theo thể thức vòng tròn. Chứng minh: có thể sắp xếp tất cả 20 đội bóng theo 1 thứ tự sao cho đội đứng trước thắng đội đứng kề sau.

Câu VI.

Chứng minh phương trình  $x^{2}-2y^{2}+8z=3$ ko có nghiệm nguyên.

 

P/s: TL : Câu 6 thiếu đề bạn mnguyen99 bổ sung vào nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mnguyen99: 15-06-2014 - 22:23

[HungNT]

Câu 4

 

a/EAHB nội tiếp vì $\angle E+\angle AHB=180 ^{\circ}\rightarrow \angle AEF=\angle ABC$

mà $\Delta EAF,\Delta ABC$ cân nên $\Delta AEF\sim \Delta ABC$

b/$\angle EAF= \angle BAC\rightarrow \angle EAB=\angle CAF\rightarrow \angle EHB=\angle CAF\rightarrow$ FACH nội tiếp $\rightarrow \angle AFC=\angle AHC=90^{\circ}\rightarrow FC \bot AF$

Vậy FC là tiếp tuyến

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 15-06-2014 - 18:34

[hieuvipntp]

Đề thi chuyên toán vòng 2 trường đại học khoa học Huế

tg:150p

Câu I

1.CM giá trị P ko phụ thuộc x.

$P=\frac{2x}{x+3\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}+1}{x+4\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+10}{x+5\sqrt{x}+6}$

2.Cho bốn số nguyên thoả a+b=c+d và ab+1=cd.

CM c=d

Câu II

1.$x^{2}+8\sqrt{x+8}=5x+20$

2.$\left\{\begin{matrix}x^{3}+2y^{2}=16 \\y^{3}+2x^{2}=16 \end{matrix}\right.$

Câu III.CHo pt $x^{4}-2(m^{2}+2)x^{2}+4m^{2}+2m+2=0$ (1), trong đó m là tham số thực.

1.CM với mọi m pt (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt a,b,c,d.

2.Tìm m biết $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=24$

Câu IV.

Cho tam giác ABC cân tại A, dduwowngf cao AH. Dựng đường tròn (S) tâm A và có bán kính nhỏ hơn AH. Từ B vẽ tiếp tuyến BE với đường tròn (S) (E tiếp điểm). Đường thẳng HE cắt (S) tại điểm thứ hai là F.CM

1.TAm giác AEF đồng dạng ABC
2.Đường thẳng CF là tiếp tuyến Với (S)

Câu V.

Có 20 đội bóng thi đấu(kết quả chỉ có thắng hoặc thuA) THEO thể thức vòng tròn. CM có thể sắp xếp tất cả 20 đội bóng theo 1 thứ tự sao cho đội đứng trước thắng đội đứng kề sau.

Câu VI.CM pt $x^{2}-2y^{2}+8z=3$ 

Câu 1b:

Theo gt thì c và d  là nghiệm của pt:

$x^{2}-(a+b)x+ab+1=0\Leftrightarrow (x-a)(x-b)=-1\Leftrightarrow x_{1}=1+a,x_{2}=b-1$ (không mất tính tổng quát) giả sử $c=1+a, d=b-1$

Thay vô gt $ab+1=cd$ ta được: $cd-d+c-1+1=0\Leftrightarrow c=d$

Câu 2a:

$x^{2}+8\sqrt{x+8}=5x+20\Leftrightarrow 4x^{2}-16x+16=4x+32-32\sqrt{x+8}+64\Leftrightarrow (2x-4)^{2}=(2\sqrt{x+8}-8)^{2}$

Đến đây dễ rồi

[BysLyl]

 

2.$\left\{\begin{matrix}x^{3}+2y^{2}=16 \\y^{3}+2x^{2}=16 \end{matrix}\right.$

 

2) Trừ hai vế cho nhau:

$(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})-2(x-y)(x+y)=0\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}-2x+2y)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=y\\ x^{2}+x(y-2)+y^{2}+2y=0 \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BysLyl: 15-06-2014 - 20:03

[Trang Luong]

 

Đề thi chuyên toán vòng 2 trường Đại học Khoa Học Huế

Thời gian làm bài : 150 phút

 

Câu I.

2.Cho bốn số nguyên thoả $a+b=c+d$ và $ab+1=cd$.

Chứng minh rằng: $c=d$

 

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+2ab=c^{2}+d^{2}+2cd\\ 4ab+4=4cd \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 4= (a-b)^{2}-(c-d)^{2}=(a-b-c+d)(a-b+c-d)$

Vì $a,b,c,d$ nguyên nên $a-b-c+d$ và $a-b+c-d$ cùng chẵn và cùng bằng 2 hoặc -2

Vậy $c-d=0$ hay $c=d$

[mnguyen99]

2) Trừ hai vế cho nhau:

$(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})-2(x-y)(x+y)=0\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}-2x+2y)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=y\\ x^{2}+x(y-2)+y^{2}+2y=0 \end{bmatrix}$

TH2 giải thế nào.

[mnguyen99]

Câu I

2.

Thử cách khác

Đăth $\frac{a+b}{2}=\frac{c+d}{2}=x$

Nên a=x+k;b=x-k;c=x+m;d=x-m          (m,k thuộc Z)

Thay vào ab+1=cd thì đấu = xảy ra khi m=n=0

[mathprovn]

 

 

Câu VI.

Chứng minh phương trình  $x^{2}-2y^{2}+8z=3$ ko có nghiệm nguyên.

 

 

 

Ta có thể viết: $x^2 - 3 = 2y^2 - 8z$. Suy ra x lẻ. Đặt $x = 2k + 1, k$ nguyên. Khi đó pt trở thành:

$2k^2 + 2k - 1 = y^2 - 4 z \Leftrightarrow 2(k^2 + k + 2z) = y^2 + 1$. Suy ra y lẻ.

đặt $y = 2t + 1$, t nguyên. Ta được:$k^2 + k + 2z = 2t^2 + 2t + 1 \Leftrightarrow 2z - 1 = 2t(t + 1) - k(k + 1) (*)$

$2z - 1$ không chia hết cho $2$, 2t(t + 1) - k(k + 1) chia hết cho 2. Do đó (*) không có nghiệm nguyên.