Chủ đề này có 11 trả lời

[Ngoc Hung]

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Chuyên Tin

                                                   Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

 

Bài 1:   a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy-2y+2=0 & \\ y^{2}+xy-3x-y=0 & \end{matrix}\right.$

             b) Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+3x+2}+\sqrt{x^{2}-1}+6=3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+2}+2\sqrt{x-1}$

Bài 2:   a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì $2(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013})$chia hết cho n(n + 1)

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q thỏa mãn điều kiện $p^{2}-2q^{2}=1$

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\geq 3(a-b)(b-c)$

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). D là điểm đối xứng với A qua O. Tiếp tuyến với (O) tại D cắt BC tại E. Đường thẳng DE lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC tại K, L. Đường thẳng qua A  song song với  EO cắt DE tại  F. Đường thẳng qua D song song với EO lần lượt cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh rằng

           a) Tứ giác BCLK nội tiếp.

           b) Đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF.

           c) D là trung điểm của đoạn thẳng MN.

Bài 5: Xét 20 số nguyên dương đầu tiên  1, 2, 3, ..., 20. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt a và b sao cho a + b là một số nguyên tố.

[buiminhhieu]

ĐỀ NĂM NÀO VẬY BẠN CVPHUC NĂM NAY CHƯA THI MÀ ĐÃ CÓ ĐỀ VẢ LẠI NĂM NAY CHUYÊN TOÁN GIỐNG ĐỀ CHUYÊN TIN MÀ MÌH CHƯA THI CẬU LẠI CÓ ĐỀ RỒI LẠ THẾ

cần 1 sự giải thích

[khanghaxuan]

Đề năm ngoái mà bạn !

[Ngoc Hung]

Đề năm trước bạn à. Trên http://diendantoanhoc.net có đề thi Chuyên Vĩnh Phúc năm 2013-2014 (Chuyên Toán năm trước) nhưng đây là đề chuyên Tin mà mình xin được

[Katyusha]

Câu 3. Biến đổi tương đương

 

 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge 3(a-b)(b-c) \Leftrightarrow a^2+4b^2+c^2-4ab-4bc+2ca \ge 0 \Leftrightarrow (a-2b+c)^2 \ge 0$

[nguyenhongsonk612]

 

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Chuyên Tin

                                                   Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

 

Bài 1:   a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy-2y+2=0 & \\ y^{2}+xy-3x-y=0 & \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Trừ theo vế 2 pt ta được:

$x^2+3x-y^2-y+2=0\Leftrightarrow (x-y+1)(x+y+2)=0$

[hoctrocuaZel]

 

 

Bài 2:   

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q thỏa mãn điều kiện $p^{2}-2q^{2}=1$

 

Câu 2.b: Xét p=2 (loại)

p>2: pt tương đương:  $(p-1)(p+1)-2.q^2=0$

$(P-1)(p+1)$ chia hết 8 (vì p lẽ) nên q chia hết 2 nên q=2 => p=3.

Đáp số: (3;2)

[Ngoc Hung]

Bài 1: b) ĐKXĐ $x\geq 1$

Phương trình tương đương $\sqrt{(x+1)(x+2)}+\sqrt{(x-1)(x+1)}+6=3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+2}+2\sqrt{x-1}$

$(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}-3)=0$. Từ đó ta có $x=2;x=3$ là nghiệm

[Ngoc Hung]

Bài 2:   a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì $2(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013})$chia hết cho n(n + 1)

Ta có $2(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013})=\left [ 1^{2013}+(n-1)^{2013} \right ]+\left [ 2^{2013}+(n-2)^{2013} \right ]+...+\left [ (n-1)^{2013}+1^{2013} \right ]+2.n^{2013}\vdots n$ (1)

Mặt khác $a^{2013}+b^{2013}\vdots (a+b)$ nên $2(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013})$ chia hết (n + 1)  (2)

Tè (1) và (2) ta có đpcm

[khanghaxuan]

Câu 2.b: Xét p=2 (loại)

p>2: pt tương đương:  $(p-1)(p+1)-2.q^2=0$

$(P-1)(p+1)$ chia hết 8 (vì p lẽ) nên q chia hết 2 nên q=2 => p=3.

Đáp số: (3;2)

Cách khác :$p^{2}-2q^{2}=1 \Rightarrow p^{2}=1+2q^{2}$

mà $p^{2}\equiv 1(mod4) , 1\equiv -3(mod4) \Rightarrow 2q^{2}\equiv 4(mod4) \Rightarrow q=2 nên p=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 18-06-2014 - 08:11

[Ngoc Hung]

Bài 5: Xét 20 số nguyên dương đầu tiên  1, 2, 3, ..., 20. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt a và b sao cho a + b là một số nguyên tố.

 

Xét 20 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, 3, ..., 20. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Với
mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt a và b sao cho a + b là một số nguyên tố.
Xét tập hợp {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} , ta  thấy tổng của hai phần tử bất kì của tập hợp này đều không phải là số nguyên tố.
Do đó $k\geq 11$ , ta sẽ chứng minh k = 11 là số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Thật vậy, ta chia tập hợp A = {1, 2, 3, ..., 20} thành 10 cặp số sau: (1, 2) ; (3,16) ; (4,19) ; (5, 6) ; (7,10) ; (8, 9) ; (11, 20) ; (12,17) ; (13,18); (14,15).
Tổng của hai số trong mỗi cặp số trên là số nguyên tố. Khi đó mỗi tập con của A có 11 phần tử  thì tồn tại ít nhất hai phần tử thuộc cùng vào một trong 10 cặp số trên. Suy ra trong A luôn có hai phần tử phân biệt có tổng là một số nguyên tố

[lyn9999]

m.n giải phần b bài hình hộ mình đc k???