Chủ đề này có 3 trả lời

[phongchelsea00]

Cho phương trình: $ax^{2}+bx+c=0$ ( a khác 0, a,b,c hữu tỉ ). Cho biết phương trình có 1 nghiệm là $1+\sqrt{2}$. Tìm nghiệm còn lại.

[NMDuc98]

Cho phương trình: $ax^{2}+bx+c=0$ ( a khác 0, a,b,c hữu tỉ ). Cho biết phương trình có 1 nghiệm là $1+\sqrt{2}$. Tìm nghiệm còn lại.

Dạng bài tập này khá hay đấy:

Do $x=1+\sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình đã cho nên:

$a(1+\sqrt{2})^2+b(1+\sqrt{2})+c=0\\\Leftrightarrow 3a+b+c+\sqrt{2}(2a+b)=0~~~~~(*)$

Xét $2a+b\ne 0$.Từ $(*)$ ta suy ra:

$\sqrt{2}=-\frac{3a+b+c}{2a+b}~~~~(**)$

Do $a\ne 0$ và $a,b,c$ là các số hửu tỷ nên:$-\frac{3a+b+c}{2a+b}$ là một số hửu tỷ.Mà $\sqrt{2}$ là số vô tỷ.

Đo đó:$(**)$ vô lý.

Vậy suy ra:$2a+b=0\Rightarrow 3a+b+c=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=-2a\\c=-a \end{matrix}\right.$.Thay vào phương trình đã cho ta suy ra:

$ax^2-2ax-a=0\Leftrightarrow x^2-2x-1=0$  ( Do $a\ne 0$ )

Suy ra nghiệm còn lại của phương trình đã cho là $1-\sqrt{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 18-06-2014 - 12:31

[Kool LL]

Cho phương trình: $ax^{2}+bx+c=0$ ( a khác 0, a,b,c hữu tỉ ). Cho biết phương trình có 1 nghiệm là $1+\sqrt{2}$. Tìm nghiệm còn lại.

 

 

Dạng bài tập này khá hay đấy:

Do $x=1+\sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình đã cho nên:

$a(1+\sqrt{2})^2+b(1+\sqrt{2})+c=0\\\Leftrightarrow 3a+b+c+\sqrt{2}(2a+b)=0~~~~~(*)$

Xét $2a+b\ne 0$.Từ $(*)$ ta suy ra:

$\sqrt{2}=-\frac{3a+b+c}{2a+b}~~~~(**)$

Do $a\ne 0$ và $a,b,c$ là các số hửu tỷ nên:$-\frac{3a+b+c}{2a+b}$ là một số hửu tỷ.Mà $\sqrt{2}$ là số vô tỷ.

Đo đó:$(**)$ vô lý.

Vậy suy ra:$2a+b=0\Rightarrow 3a+b+c=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=-2a\\c=-a \end{matrix}\right.$.Thay vào phương trình đã cho ta suy ra:

$ax^2-2ax-a=0\Leftrightarrow x^2-2x-1=0$  ( Do $a\ne 0$ )

Suy ra nghiệm còn lại của phương trình đã cho là $1-\sqrt{2}$.

 

CÓ thể TQ hoá thành : $\forall m,n\in\mathbb{Q}\ , \ \sqrt{n}\notin\mathbb{Q}$

 

1/. $\boxed{\text{Đa thức bậc 2 hệ số hữu tỉ nếu có nghiệm dạng } m+\sqrt{n} \text{ thì nghiệm còn lại có dạng } m-\sqrt{n}}$

 

2/. $\boxed{\text{Đa thức bậc } n\ (n\ge2) \text{ hệ số hữu tỉ nếu có nghiệm dạng } m+\sqrt{n} \text{ thì } m-\sqrt{n} \text{ cũng là nghiệm}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 18-06-2014 - 13:07

[anh1999]

cho pt $4mx^{2}-(2m+1)^{2}x+4m^{2}+1(1)$

a, gpt khi m=1

b, tìm m để pt(1) có 2 nghiệm đều <1