Chủ đề này có 4 trả lời

[firesidecake]

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$

 

MOD : chú ý cách đặt tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 22-06-2014 - 17:27

[buitudong1998]

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$

 

MOD : chú ý cách đặt tiêu đề

Iran TST 2009

[megamewtwo]

BDT $\Leftrightarrow \frac{3}{2}-\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}= \sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{\left ( \sum \sqrt{a^{2}+b^{2}} \right )^{2}}{2\sum a^{2}+6}= \frac{\sum a^{2}+\sum \sqrt{\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( a^{2}c^{2} \right )}}{\sum a^{2}+3}\geq \frac{\sum a^{2}+\sum \left ( a^{2}+bc \right )}{\sum a^{2}+3}= \frac{\frac{3}{2}\sum a^{2}+\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a^{2}+3}= \frac{3}{4}$

$\Rightarrow$ DPCM 

[buitudong1998]

Cũng có thể giải như sau:

Chứng minh: 

$\frac{1}{2+x^{2}+y^{2}}\leqslant \frac{2}{4+(x+y)^{2}}=\frac{2}{4+(3-z)^{2}}\leqslant \frac{1}{4}z-\frac{1}{8}(z-1)$ bằng biến đổi tương đương (cuối cùng đưa về $(z-1)^{2}(z-3)\leqslant 0$

CMTT cộng 3 BĐT vào có $DPCM$

[firesidecake]

Sao lại nghĩ ra $\frac{3}{2}$ vay???