Chủ đề này có 6 trả lời

[Melodyy]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$

Tìm GTNN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc$

[Dam Uoc Mo]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$

Tìm GTNN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc$

$CM: \sum a^{2}+4abc\geq \frac{13}{27}\Leftrightarrow 1-2(\sum ab)+4abc\geq \frac{13}{27}\Leftrightarrow \frac{14}{27}+4abc\geq 2(\sum ab);;;abc=r,\sum ab=q,p=a+b+c=1\Rightarrow \frac{14}{27}+4r\geq 2q.$

Theo BĐT Schur với k=1 thì $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}\Leftrightarrow 4r\geq \frac{4p(4q-p^{2})}{9}$.

Mà $p=a+b+c=1\Rightarrow 4r\geq \frac{4(4q-1)}{9}\Rightarrow \frac{14}{27}+4r\geq \frac{14}{27}+\frac{16q-4}{9}\geq 2q\Leftrightarrow q\leq \frac{1}{3}.$

Điều này luôn đúng vì $q\leq \frac{p^{2}}{3}=\frac{1}{3}.$

Vậy có $min=\frac{13}{27}.$

[Messi10597]

Trích lời giải trên THTT:

Theo gt thì sẽ có ít nhất  1 số thuộc $\left [ 0;\frac{1}{3} \right ]$

Không mất tích tổng quát giả sử $c\in \left [ 0;\frac{1}{3} \right ]$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} a+b=1-c & & \\ P=(a+b)^{2}-2ab+c^{2}+4abc & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=1-c & & \\ P=(1-c)^{2}+c^{2} +2(2c-1)ab& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=1-c & & \\ ab=\frac{P-2c^{2}+2c-1}{2(2c-1)} & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (1-c)^{2}=(a+b)^{2}\geq 4ab=4.\frac{P-2c^{2}+2c-1}{2(2c-1)}$

$\Rightarrow (1-c)^{2}(2c-1)\leq 2(P-2c^{2}+2c-1)$ (do 2c-1<0)

$\Rightarrow 2P\geq 2c^{3}-c^{2}+1=f(c)$

Áp dụng BĐT AM-GM 

$f(c)=\left ( 2c^{3} +\frac{2}{9}c\right )-c^{2}-\frac{2}{9}c+1\geq \frac{4}{3}c^{2}-c^{2}-\frac{2}{9}c+1=\frac{1}{3}\left ( c-\frac{1}{3} \right )^{2}+\frac{26}{27}\geq \frac{26}{27}$

$\Rightarrow P\geq \frac{13}{27}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

[hoanganhhaha]

theo bdt schur thì ta cũng có $abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) =(1-2a)(1-2b)(1-2c)=(1-2a-2b+4ab)(1-2c)=1-2(a+b+c)+4(ab+bc+ac) -8abc $
vậy nên $ abc \geq  \frac { 4(ab+bc+ac)-1}{9} $ do đó $ a^2+b^2+c^2+4abc \geq  a^2+b^2+c^2 +\frac{16}{9}(ab+bc+ac) -\frac{4}{9} = (a^2+b^2+c^2 +2ab+2bc+2ac) -\frac{2}{9}(ab+bc+ac) -4/9 \geq (a+b+c)^2 -\frac{2}{27}(a+b+c)^2-\frac{4}{9} $

[thanhducmath]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$

Tìm GTNN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc$

Mình có có cách thế này:

theo giả thiêt $a,b,c\in(0;1), $bc\leq \frac{(1-x)^{2}}{4}$

 Ta cần CM: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc\geq \frac{13}{27}$

$\Leftrightarrow(1-a)^{2}-2bc+4abc+a^{2}\geq\frac{13}{27}$

$\Leftrightarrow f(bc)=bc(4a-2)+2a^{2}-2a+\frac{14}{27}\geq0$(*)

 Nếu a= $\frac{1}{2}$  thì (*) đúng.

Nếu a $\neq\frac{1}{2}$

ta CM f(0)>0 và $f[\frac{(1-a)^{2}}{4}]\geq 0$

nên có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhducmath: 25-06-2014 - 18:32

[Melodyy]

 Ta cần CM: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+4xyz\geq \frac{13}{27}$

$CM: \sum a^{2}+4abc\geq \frac{13}{27}$

Các bạn ak, làm sao biết cực trị tại tâm mà cm kiểu đó chứ?

[thanhducmath]

Các bạn ak, làm sao biết cực trị tại tâm mà cm kiểu đó chứ?

bài này biến đối xứng(hoặc có bài biến hoán vị) thì thường điểm rơi tại các biến bằng nhau nên tìm thay vào tìm đk min để chứng minh thôi