Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y$\leq z$. Chứng minh rằng:
$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$
@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề
BĐT cần c/m <=>3+$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{y^{2}}\geq \frac{27}{2}$
Áp dụng bdt côsi ta có
$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\geq 2$
$\frac{x^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{16x^{2}}\geq \frac{1}{2}$
$\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{16y^{2}}\geq \frac{1}{2}$
$\frac{15}{16}(\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{z^{2}}{y^{2}})\geq \frac{15}{16}(x+y)^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})=\frac{15}{16}(x^{2}+y^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+\frac{15}{8}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\geq \frac{15}{2}$
Cộng 3 bất dẳng thức trên ta có DPCM