Chứng minh $1. C^1_n -\frac{1}{2} C^2_n ... +(-1)^{n-1}. C^n_n. \frac{1}{n}=1+ \frac{1}{2} ... +\frac{1}{n}$
#1
Đã gửi 24-06-2014 - 17:03
#2
Đã gửi 27-06-2014 - 12:02
Chứng minh $1. C^1_n -\frac{1}{2} C^2_n ... +(-1)^{n-1}. C^n_n. \frac{1}{n}=1+ \frac{1}{2} ... +\frac{1}{n}$
LG.
Xét khai triển
$$\left ( 1+t \right )^n=\sum_{i=0}^{n}C_n^i t^n=1+C_n^1t+\cdots+C_n^nt^n$$
$$\Rightarrow C_n^1+C_n^2t+\cdots+C_n^nt^{n-1}=\frac{(1+t)^n-1}{t}=(1+t)^{n-1}+(1+t)^{n-2}+\cdots+1$$
$$\int_{-1}^{0}\left [ C_n^1+C_n^2t+\cdots+C_n^nt^{n-1} \right ]dt=\int_{-1}^{0}\left [ (1+t)^{n-1}+(1+t)^{n-2}+\cdots+1 \right ]dt $$
$$\Leftrightarrow C_1^n-\frac{1}{2}C_n^2+\cdots+ \frac{(-1)^{n-1}}{n}C_n^n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\cdots +1$$
- caybutbixanh, Gioi han và bangbang1412 thích
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh