Chủ đề này có 5 trả lời

[megamewtwo]

Cho a;b;c dương sao cho : a+b+c=3

CMR: $\frac{a^{2}b}{a+b+1}+\frac{b^{2}c}{b+c+1}+\frac{ac^{2}}{a+c+1}\leq 1$

 

[Melodyy]

Cho a;b;c dương sao cho : a+b+c=3

CMR: $\frac{a^{2}b}{a+b+1}+\frac{b^{2}c}{b+c+1}+\frac{ac^{2}}{a+c+1}\leq 1$

Đầu tiên đi cm

$a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4$

Tiếp theo

$\dfrac{9a^2b}{1+a+b}\le\dfrac{a^2b(3^2-(a+b-2)^2)}{1+a+b}=a^2b(5-a-b)=a^2b(2+c)$
Tương tự,rút ra: $9VT \le 2(a^2b+b^2c+c^2a)+3abc\le9$ (vì $abc\leq1$)

[lahantaithe99]

Đầu tiên đi cm

$a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4$

Tiếp theo

$\dfrac{9a^2b}{1+a+b}\le\dfrac{a^2b(3^2-(a+b-2)^2)}{1+a+b}=a^2b(5-a-b)=a^2b(2+c)$
Tương tự,rút ra: $9VT \le 2(a^2b+b^2c+c^2a)+3abc\le9$ (vì $abc\leq1$)

Phải nói thế nào nhỉ? cái BĐT này của anh hình như có vấn đề rồi ạ

[Melodyy]

Phải nói thế nào nhỉ? cái BĐT này của anh hình như có vấn đề rồi ạ

Có cái nhận xét này nhé $x\leq x(1-k^{2})$

Làm như vậy để khử mẫu thôi cái này có vẻ mới

[lahantaithe99]

Có cái nhận xét này nhé $x\leq x(1-k^{2})$

Làm như vậy để khử mẫu thôi cái này có vẻ mới

$x\leqslant x(1-k^2)$ với $x$ dương? làm sao có thể 

[Melodyy]

$x\leqslant x(1-k^2)$ với $x$ dương? làm sao có thể 

Uh ,làm sai bét bè nhe roi!

Cách khác

Trưoc hết cm cái BĐT phụ

$\sum a^{2}b+abc\leq 4$

Không mất tính tổng quát giả sử $b$ nằm giữa $a,c$ thì

$(b-a)(b-c)\leq 0\Rightarrow b^{2}+ac\leq ab+bc\Rightarrow b^{2}c+c^{2}a\leq abc+c^{2}b\Rightarrow \sum a^{2}b+abc\leq a^{2}b+2abc+bc^{2}=b(a+c)^{2}\leq \frac{1}{2}(\frac{2b+a+c+a+c}{3})^{3}= \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}=4$

Nhân 2 vế của BĐT trên cho $a+b+c+1$ ta được

$\sum a^{2}b+abc(\sum \frac{a}{b+c+1})\leq 4$

Ta đi cm $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$

Quy đồng ta lạii nhận đc BĐT phụ cm trên

 suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Melodyy: 28-06-2014 - 02:53