Chủ đề này có 2 trả lời

[Yagami Raito]

Chứng minh rằng hệ sau  chỉ có một nghiêm duy nhất là $(x,y,z)=(1;1;1)$

$\left\{\begin{matrix} x+y^2+z^3=3 & & \\ y+z^2+x^3=3 & & \\ z+x^2+y^3=3 & & \end{matrix}\right.$

 

[kanashini]

Cộng theo vế,ta đc:

$(x+1)(x^{2}+2x+3)+(y+1)(y^{2}+2y+3)+(z+1)(z^{2}+2z+3)=0$

Nếu $x<1$ suy ra$y<1;z<1$ --->PT trên vn

 

Nếu $x>1$ suy ra $y>1;z>1$ ---->PT trên vn

 

--->(x;y;z)=(1;1;1) là nghiệm dn

[Yagami Raito]

Chứng minh rằng hệ sau  chỉ có một nghiêm duy nhất là $(x,y,z)=(1;1;1)$

$\left\{\begin{matrix} x+y^2+z^3=3 & & \\ y+z^2+x^3=3 & & \\ z+x^2+y^3=3 & & \end{matrix}\right.$

Lời giải: 

Trừ phương trình  $(1)$ cho phương trình (2) ta có: 

$$x(1-x^2)+y(y-1)+z^2(z-1)=0$$(3)

Trừ phương trình $(2)$ cho phương trình $(3)$ ta có:

$$y(1-y)^2+z(z-1)+x^2(x-1)=0$$(4)

Nhân phương trình (4) với $z$ rồi trừ cho phương trình $(3)$ ta có: 

$$x(x-1)(1+x+xz)=y(y-1)(1+z+yz)(*)$$

Một cách hoàn toàn tương tự ta cũng có: 

$$y(y-1)(1+y+yx)=z(z-1)(1+x+zx)(**)$$

Từ hai kết quả $(*)$ và $(**)$ ta suy ra rằng $x,y,z$ là các sô dương, $x,y,z$ bằng 1 hoặc bé hơn 1 hoặc lớn hơn 1.

Dễ dàng thấy $x,y,z<1$ hoặc $x,y,z>1$ không thỏa mãn.

Kết hợp $x+y^2+z^3=3$ ta có đpcm