Chủ đề này có 3 trả lời

[hapuvotan]

Bài 1: Cho a,b,c dương a+b+c=3 chứng minh rằng:$\frac{a+\sqrt{a}}{b+c} + \frac{b+\sqrt{b}}{a+c} +\frac{c+\sqrt{c}}{a+b}\geq 3$

 Bài 2:  Cho a,b,c dương ab+bc+ca=a+b+c. Tìm min : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hapuvotan: 30-06-2014 - 08:59

[megamewtwo]

Ta có : $\sum \frac{a+\sqrt{a}}{b+c}= \sum \frac{\sqrt{a}\left ( 1+\sqrt{a} \right )}{\left ( 1-\sqrt{a} \right )\left ( 1+\sqrt{a} \right )}= \sum \frac{\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}$

áp dụng uct $\Leftrightarrow \sum \frac{\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}\geq \sum \frac{9+6\sqrt{3}}{4}a-\frac{3}{4}= \frac{3+3\sqrt{3}}{2}> 3$

     

[hapuvotan]

Ta có : $\sum \frac{a+\sqrt{a}}{b+c}= \sum \frac{\sqrt{a}\left ( 1+\sqrt{a} \right )}{\left ( 1-\sqrt{a} \right )\left ( 1+\sqrt{a} \right )}= \sum \frac{\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}$

áp dụng uct $\Leftrightarrow \sum \frac{\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}\geq \sum \frac{9+6\sqrt{3}}{4}a-\frac{3}{4}= \frac{3+3\sqrt{3}}{2}> 3$

     

Đề bài lúc đấy sai bạn ạ..bh làm theo đề trên nhé a+b+c=3

[lahantaithe99]

Bài 1: Cho a,b,c dương a+b+c=3 chứng minh rằng:$\frac{a+\sqrt{a}}{b+c} + \frac{b+\sqrt{b}}{a+c} +\frac{c+\sqrt{c}}{a+b}\geq 3$

 

 

Cũng k khác mấy, theo cách của đại ca megameutwo thì ta sẽ cm

 

$\frac{a+\sqrt{a}}{b+c}=\frac{a+\sqrt{a}}{3-a}\geqslant \frac{5a}{4}-\frac{1}{4}$

 

BĐT này luôn đúng vì $\Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)^2(5a+10\sqrt{a}+3)\geqslant 0$ (luôn đúng với $a$ dương)

 

Thiết lập các BĐT tương tự và cộng lại

 

$\Rightarrow \sum \frac{a+\sqrt{a}}{b+c}\geqslant \frac{5}{4}(a+b+c)-\frac{3}{4}=3$

 

Dấu $=$ khi $a=b=c=1$