3 replies to this topic

[Mikhail Leptchinski]

Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố,$a$ là số nguyên dương sao cho $1+2\sqrt{a}$ không là số nguyên tố thì phương trình $x^2-2\sqrt{a}x-p=0$ không có nghiệm hữu tỷ

[toanc2tb]

Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là ước của p. Gọi $x$ là nghiệm của pt thì $x \in${$-1;-p;1;p$}

   Nếu $x = -1$ thay vào pt ta có:

$1+2\sqrt a -p=0 \Leftrightarrow 1+2\sqrt a=p$ (Vô lý do $1+2\sqrt a$ không là số nguyên tố)

   Nếu $x=p$ thay vào pt ta có:

$p^2-2p\sqrt a-p=0 \Leftrightarrow p-2\sqrt a-1=0$ (do $p\neq 0$)

$\Leftrightarrow p=2\sqrt a+1$ (Vô lý)

   Nếu $x=1$ thay vào pt ta có:

$1-2sqrt a-p=1 \Leftrightarrow 2sqrt a +p=1$ (Vô lý)

   Nếu $x=-p$ thay vào pt ta có:

$p^2+2p\sqrt a-p=0 \Leftrightarrow p+2\sqrt a=1$ (Vô lý)

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm hữu tỉ.

Edited by toanc2tb, 04-07-2014 - 09:53.

[BysLyl]

Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là ước của p. Gọi $x$ là nghiệm của pt thì $x \in${$-1;-p;1;p$}

   Nếu $x = -1$ thay vào pt ta có:

$1+2\sqrt a -p=0 \Leftrightarrow 1+2\sqrt a=p$ (Vô lý do $1+2\sqrt a$ không là số nguyên tố)

   Nếu $x=p$ thay vào pt ta có:

$p^2-2p\sqrt a-p=0 \Leftrightarrow p-2\sqrt a-1=0$ (do $p\neq 0$)

$\Leftrightarrow p=2\sqrt a+1$ (Vô lý)

   Nếu $x=1$ thay vào pt ta có:

$1-2sqrt a-p=1 \Leftrightarrow 2sqrt a +p=1$ (Vô lý)

   Nếu $x=-p$ thay vào pt ta có:

$p^2+2p\sqrt a-p=0 \Leftrightarrow p+2\sqrt a=1$ (Vô lý)

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm hữu tỉ.

mình chưa hiểu lắm, bạn giải thích được không?

[toanc2tb]

Thế này! Nếu phương trình bậc 2 $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là các ước của $c$. Trường hợp này do $p$ nguyên tố nên chỉ có 4 ước đó thôi!      

Ps: Trong các sách nâng cao có bạn@ hì               

Edited by toanc2tb, 10-07-2014 - 21:05.