Chủ đề này có 9 trả lời

[PT Quang 831]

Cho $x,y,z> 0$. Chứng minh rằng:

 $\frac{x^2y}{z}+ \frac{y^2z}{x}+ \frac{z^2x}{y}\geq x^2 + y^2 + z^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT Quang 831: 05-07-2014 - 22:23

[phamquanglam]

Cho $x,y,z> 0$. Chứng minh rằng:

 $\frac{x^2y}{z}+ \frac{y^2z}{x}+ \frac{z^2x}{y}\geq x^2 + y^2 + z^2$

Giả sử $x\geq y\geq z$

Ta có: $(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})(\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2}y}{x})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}$

Mặt khác: $\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}-\frac{x^{2}z}{y}-\frac{y^{2}x}{z}-\frac{z^{2}y}{x}=\frac{(xy+yz+zx)(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz}\geq 0$ theo điều kiện ta giả sử.....

Vậy: $(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})^{2}\geq (\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})(\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2}y}{x})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\Rightarrow \frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

[ST Quang 831]

Giả sử $x\geq y\geq z$

Ta có: $(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})(\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2}y}{x})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}$

Mặt khác: $\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}-\frac{x^{2}z}{y}-\frac{y^{2}x}{z}-\frac{z^{2}y}{x}=\frac{(xy+yz+zx)(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz}\geq 0$ theo điều kiện ta giả sử.....

Vậy: $(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})^{2}\geq (\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})(\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2}y}{x})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\Rightarrow \frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}-\frac{x^{2}z}{y}-\frac{y^{2}x}{z}-\frac{z^{2}y}{x}=\frac{(xy+yz+zx)(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz}\geq 0$
bạn làm cụ thể đc hông??

[25 minutes]

Giả sử $x\geq y\geq z$

Cái này không đúng nhé, bất đẳng thức không đối xứng hoàn toàn nên không thể giả sử như thế được 

[PT Quang 831]

Cái này không đúng nhé, bất đẳng thức không đối xứng hoàn toàn nên không thể giả sử như thế được 

??? sao k đối xứng hoàn toàn vậy bạN???

[phamquanglam]

Cái này không đúng nhé, bất đẳng thức không đối xứng hoàn toàn nên không thể giả sử như thế được 

Em thấy nó đối xứng mà? khó hiểu nhỉ? Vai trò $x,y,z$ là như nhau mà anh!

[25 minutes]

Em thấy nó đối xứng mà? khó hiểu nhỉ? Vai trò $x,y,z$ là như nhau mà anh!

Thế nếu giả sử $x \geqslant z \geqslant y$ thì có làm như thế được không ?

[phamquanglam]

Thế nếu giả sử $x \geqslant z \geqslant y$ thì có làm như thế được không ?

Thế thì bài này nhường cho thánh làm anh ạ!     

Đầu bài bắt buộc phải có: $x\geq y\geq z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 22-07-2014 - 09:53

[Luu Manh Lap Di]

bài này có bạn nào giải ra chưa ?

[killerdark68]

Giả sử $x\geq y\geq z$

Ta có: $(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})(\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2}y}{x})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}$

Mặt khác: $\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}-\frac{x^{2}z}{y}-\frac{y^{2}x}{z}-\frac{z^{2}y}{x}=\frac{(xy+yz+zx)(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz}\geq 0$ theo điều kiện ta giả sử.....

Vậy: $(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})^{2}\geq (\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})(\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2}y}{x})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\Rightarrow \frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

bạn biết cách sử dụng bdt AM-GM ko?