Chủ đề này có 6 trả lời

[firesidecake]

Liệu có thể chứng minh, với a, b, c>0

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

 

(vẫn là ứng dụng từ bdt nesbitt dạng tổng quát)

[25 minutes]

Liệu có thể chứng minh, với a, b, c>0

Cái này không chứng minh được đâu bạn à, chỉ có thể chứng minh được 

                  $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}>2$

Bạn có thể tìm $1$ số ví dụ để phản chứng minh lại 

[firesidecake]

Ví dụ là gị vậy. Chỉ thấy dấu bằng xảy ra khi 1 trong 3 cái a, b, c=0, 2 cái còn lại bằng nhau.

[Love Inequalities]

Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương:

       $\sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}}\geq 3$ <=> $\sum \left ( \sqrt{\frac{2a}{b+c}}-1 \right )\geq 0$ (*)

Có VT (*)$=\sum \left ( \frac{a-b+a-c}{\sqrt{2a\left ( b+c \right )}+b+c} \right )$

               $=\sum \left ( a-b \right )\left ( \frac{1}{\sqrt{2a\left ( b+c \right )}+b+c}-\frac{1}{\sqrt{2b\left ( a+c \right )}+a+c} \right )$

               $=\sum \left ( a-b \right )\left ( \frac{\sqrt{2b\left ( a+c \right )}-\sqrt{2a\left ( b+c \right )}+a-b}{\left ( \sqrt{2a\left ( b+c \right )}+b+c \right )\left (\sqrt{2b\left ( a+c \right )}+a+c  \right )} \right )$

               $=\sum \left ( \frac{1-\frac{2c}{\sqrt{2a\left ( b+c \right )}+\sqrt{2b\left ( c+a \right )}}}{\left ( \sqrt{2a\left ( b+c \right )}+b+c \right )\left (\sqrt{2b\left ( a+c \right )}+a+c  \right )} \right )\left ( a-b \right )^{2}\geq 0$ 

 Dấu "$=$" xảy ra khi $a=b=c$

[25 minutes]

Ví dụ là gị vậy. Chỉ thấy dấu bằng xảy ra khi 1 trong 3 cái a, b, c=0, 2 cái còn lại bằng nhau.

 

Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương:

Thay $a=1$ và $b=c=717,859$ vào ta có $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=2,025<\frac{3}{\sqrt{2}}$

[Love Inequalities]

Mình quên mất bất đẳng thức Nesbitt mở rộng là: $\left ( \frac{a}{b+c} \right )^{k}+\left ( \frac{b}{c+a} \right )^{k}+\left ( \frac{c}{a+b} \right )^{k}\geq min\left ( 2,\frac{3}{2^{k}} \right )$

Thế nên $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2$ mới đúng!

Bất đẳng thức bên trên là sai!!!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love Inequalities: 12-07-2014 - 10:31

[firesidecake]

Thực nhất mình đang nghiên cứu về BDT Nesbitt nên mới cần hỏi cái này. Nhưng trong bdt tổng quát này vẫn có vấn đề rằng MIn của bdt mình nêu ra không bằng 2 với a, b, c>0 nên mình mới nghĩ trường hợp dấu bằng khác. Dù sao vẫn chưa tìm được, vậy ai có thể nêu cho mình một giá trị dấu bằng cụ thể để MIn bdt minh dua ra = 2 không?