Chủ đề này có 3 trả lời

[maitram]

Tìm tất cả ma trận $A$ vuông cấp $n\geq 2$ sao cho với mọi ma trận vuông $B$ cấp $n$ ta đều có $det(A+B)=detA+detB$

[leminhansp]

Tìm tất cả ma trận $A$ vuông cấp $n\geq 2$ sao cho với mọi ma trận vuông $B$ cấp $n$ ta đều có $det(A+B)=detA+detB$

 

Đây là Câu 5 đề Olympic sinh viên toàn quốc năm 2009 môn Đại số.

Mình chép giúp bạn cái đáp án 

 

Chọn $B=A$ suy ra $\det A=0$

Giả sử $A=(a_{ij})$, chọn $B=(b_{ij})$ là ma trận tam giác trên thỏa mãn $$b_{ij}=\left\{ \begin{array}{l}b_{11}=0\\ b_{ij}=0\quad (i>j)\\ b_{ij}=-a_{ij}\quad (i\le j)\\ b_{ii}=1-a_{ii}\quad (i>1)\end{array}\right.$$

Khi đó thu được $a_{11}=0$. Bằng cách đổi vị trí hàng hay cột để đưa phần tử $a_{ij}$ bất kì lên vị trí thuộc hàng 1 cột 1 và lặp lại chứng minh trên ta sẽ chỉ ra được $a_{ij}=0$.

Vậy ma trận cần tìm là ma trận $0$.

 

P/s: Mình nhớ không nhầm thì bài này lấy trong cuốn Đại số của Jean - Marie Monier (Hầu như năm nào cũng có một bài trong hai cuốn ĐS này)

[maitram]

Đây là Câu 5 đề Olympic sinh viên toàn quốc năm 2009 môn Đại số.

Mình chép giúp bạn cái đáp án 

 

Chọn $B=A$ suy ra $\det A=0$

Giả sử $A=(a_{ij})$, chọn $B=(b_{ij})$ là ma trận tam giác trên thỏa mãn $$b_{ij}=\left\{ \begin{array}{l}b_{11}=0\\ b_{ij}=0\quad (i>j)\\ b_{ij}=-a_{ij}\quad (i\le j)\\ b_{ii}=1-a_{ii}\quad (i>1)\end{array}\right.$$

Khi đó thu được $a_{11}=0$. Bằng cách đổi vị trí hàng hay cột để đưa phần tử $a_{ij}$ bất kì lên vị trí thuộc hàng 1 cột 1 và lặp lại chứng minh trên ta sẽ chỉ ra được $a_{ij}=0$.

Vậy ma trận cần tìm là ma trận $0$.

 

P/s: Mình nhớ không nhầm thì bài này lấy trong cuốn Đại số của Jean - Marie Monier (Hầu như năm nào cũng có một bài trong hai cuốn ĐS này)

 

Em biết chứ, thì em đang làm cái đề đó mà. Lúc đầu tự làm em cứ chọn $A$ là ma trận đơn vị hay ma trận đường chéo bất kì rồi chọn $B$ theo $A$ nhưng mà nó cứ lung tung cả lên. Em không hiểu vì sao hướng dẫn người ta lại chọn được ma trận $A=B$ như thế đấy ạ. 

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Em biết chứ, thì em đang làm cái đề đó mà. Lúc đầu tự làm em cứ chọn $A$ là ma trận đơn vị hay ma trận đường chéo bất kì rồi chọn $B$ theo $A$ nhưng mà nó cứ lung tung cả lên. Em không hiểu vì sao hướng dẫn người ta lại chọn được ma trận $A=B$ như thế đấy ạ. 

 

Về câu hỏi tại sao chọn $A=B$, đó là bởi vì nếu chọn A=B, thì det(A+B)=k.detA với một hằng số k nào đó.