Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số: $y=\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}$
Mình đã giải $y'=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x+1}}-\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x+1}}\Leftrightarrow \frac{(2x+1)(\sqrt{x^{2}-x+1})-(2x-1)(\sqrt{x^{2}+x+1})}{2\sqrt{(x^{2}+x+1)(\sqrt{x^{2}-x+1})}}$
$y'=0\Leftrightarrow {(2x+1)(\sqrt{x^{2}-x+1})-(2x-1)(\sqrt{x^{2}+x+1})}=0$
Tới đây mình không biết giải sao nữa, các bạn giúp mình nhé!
$\left ( 2x+1 \right )\sqrt{x^2-x+1}=\left ( 2x-1 \right )\sqrt{x^2+x+1}$ (1)
Đặt điều kiện trước khi bình phương 2 vế : $x< -\frac{1}{2}$ hoặc $x> \frac{1}{2}$ (để 2 vế cùng dấu)
(1) $\Leftrightarrow \frac{4x^2+4x+1}{4x^2-4x+1}=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$ (2)
Trừ 2 vế với $1$ :
(2) $\Leftrightarrow \frac{8x}{4x^2-4x+1}=\frac{2x}{x^2-x+1}\Leftrightarrow \frac{8}{4x^2-4x+1}=\frac{8}{4x^2-4x+4}$ (vì theo điều kiện đã đặt thì $x\neq 0$)
Vậy pt $y'=0$ vô nghiệm.
Cho $x$ giá trị bất kỳ sẽ thấy $y'> 0$ $\Rightarrow y'$ luôn luôn dương $\Rightarrow$ hàm số đã cho đồng biến trên toàn miền xác định $\left ( -\infty;+\infty \right )$