Chủ đề này có 2 trả lời

[Kir]

Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng:

$\frac{2xy}{(x+z)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3xz}{(y+z)(y+x)}\geq \frac{5}{3}$

[25 minutes]

Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng:

$\frac{2xy}{(x+z)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3xz}{(y+z)(y+x)}\geq \frac{5}{3}$

BĐT tương đương với 

      $2xy(x+y)+2yz(y+z)+3xz(x+z)\geqslant \frac{5}{3}(x+y)(y+z)(z+x)$

$\Leftrightarrow \frac{xy(x+y)}{3}+\frac{yz(y+z)}{3}+\frac{4xz(x+z)}{3}\geqslant \frac{10xyz}{3}$

$\Leftrightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+4xz(x+z)\geqslant 10xyz$

$\Leftrightarrow \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{4(x+z)}{y}\geqslant 10$

Áp dụng AM-GM ta có ngay đpcm

            $\left\{\begin{matrix} \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\geqslant 2\\ \frac{y}{z}+\frac{4z}{y}\geqslant 4 \\ \frac{y}{x}+\frac{4x}{y}\geqslant 4 \end{matrix}\right.$

[congson21598]

Đặt $\left\{\begin{matrix} x+y=c\\ y+z=a\\ x+z=b \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z=\frac{a+b-c}{2}\\ y=\frac{a+c-b}{2}\\ x=\frac{b+c-a}{2} \end{matrix}\right.$

Bài toán viết thành:

$S=\frac{c^{2}-(a-b)^{2}}{2ab}+\frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{2bc}+\frac{3}{4}.\frac{b^{2}-(a-c)^{2}}{ac}\geq \frac{5}{3}$

$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{3}{2}\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\leq \frac{11}{6}$

Ta có: a,b,c có thể coi là 3 cạnh 1 tam giác

cosC=$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

tương tự cho cosA,cosB

Bài toán viết thành:

cosC+cosA+$\frac{3}{2}cosC$$\leq \frac{11}{6}$

$(\sqrt{3}sin\frac{B}{2}-cos\frac{A-C}{2})^{2}+\frac{1}{3}sin^{2}\frac{A-C}{2}\geq 0$

Bài toán đk chứng minh