Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cetus: 14-07-2014 - 10:55
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cetus: 14-07-2014 - 10:55
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
Khi đặt $\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}=x,y,z\Rightarrow xyz=1$
Bất đẳng thức trở thành $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$
Do vai trò của $x,y,z$ là như nhau nên ta có thể giả sử $z$ là số lớn nhất, khi đó $xy \leqslant 1$
Dễ thấy bất đẳng thức sau $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leqslant \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$
$\Rightarrow\sum \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\leqslant \frac{2}{\sqrt{1+xy}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}=\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z+1}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}=f(z),z \geqslant 1$
Đến đây có thể khảo sát hoặc biến đổi như sau :
$\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z+1}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}-\frac{3}{\sqrt{2}}=(z-1)\left [ \frac{2}{2\sqrt{z(z+1)}+\sqrt{2}(z+1)} -\frac{z+1}{2\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2}(1+z^2)}\right ]$
Vậy $f(z)\leqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c>0$
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki
$Vt=\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+b^2}}\leqslant \sqrt{\left [\sum \frac{a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)} \right ]\left [ \sum (a^2+c^2) \right ]}$
$\Leftrightarrow Vt\leqslant \sqrt{\frac{4(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}$
Mà ta lại có BĐT quen thuộc là
$(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leqslant \frac{9}{8}(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$
Do đó $Vt\leqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$
Dấu $=$ khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 14-07-2014 - 15:12
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh