Chủ đề này có 3 trả lời

[thanhthanhtoan]

Cho hàm số: $y=f(x)=-\frac{1}{3}mx^{3}-(m-1)x^{2}+3(m-2)x+\frac{1}{3}$
Tìm m để hàm số đồng biến trên $\left [ 2;+\infty \right )$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhthanhtoan: 14-07-2014 - 20:34

[E. Galois]

TXĐ: $\mathbb{R}$

Ta có:

$$y'=-mx^2-2(m-1)x+3(m-2)$$

Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:

\begin{align*} & y' \geq 0, & \forall x \in [2;+\infty) \\ \Leftrightarrow & -mx^2-2(m-1)x+3(m-2) \geq 0, &\forall x \in [2;+\infty) \\ \Leftrightarrow & m(3-2x-x^2)  \geq 6-2x, &\forall x \in [2;+\infty) \\ \Leftrightarrow & m \leq \frac{6-2}{3-2x-x^2}, &\forall x \in [2;+\infty) \\ \Leftrightarrow & m \leq \min_{[2;+\infty)} \frac{6-2}{3-2x-x^2} & \\  \Leftrightarrow & m \leq -\frac{5}{2} &\end{align*}

[thanhthanhtoan]

TXĐ: $\mathbb{R}$

Ta có:

$$y'=-mx^2-2(m-1)x+3(m-2)$$

Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:

\begin{align*} & y' \geq 0, & \forall x \in [2;+\infty) \\ \Leftrightarrow & -mx^2-2(m-1)x+3(m-2) \geq 0, &\forall x \in [2;+\infty) \\ \Leftrightarrow & m(3-2x-x^2)  \geq 2-2x, &\forall x \in [2;+\infty) \\ \Leftrightarrow & m \leq \frac{2}{x+3}, &\forall x \in [2;+\infty) \\ \Leftrightarrow & m \leq \min_{[2;+\infty)} \frac{2}{x+3} & \\  \Leftrightarrow & m \leq 0 &\end{align*}

 

Admin tính nhầm 1 chút rồi ạ .

Ở dòng $\Leftrightarrow$ thứ hai: 6-2x chứ không phải 2-2x ạ.

Thực ra bài này em làm ra rồi, $ m\leq \frac{-2}{5}$, admin xem giùm em kết quả đó có đúng không ạ?

 

Theo cách giải trên admin có thể làm giùm em bài này nữa được không ạ:

Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+x+m}{x^{2}-x+1}$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên (0, 1).

Em giải theo cách tam thức bậc 2 thì bài này không tồn tại m

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhthanhtoan: 18-07-2014 - 19:35

[E. Galois]

Cảm ơn bạn đã phát hiện, mình đã sửa lại ở trên.

 

Vào lúc 18 Tháng 7 2014 - 19:30, thanhthanhtoan đã nói:

Cho hàm số $y=\frac{x^{2}+x+m}{x^{2}-x+1}$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên (0, 1).

 

 

TXĐ: $\mathbb{R}$

Ta có:

$$y'=\frac{-2x^2+2(1-m)x+m+1}{(1-x+x^2)^2}$$

Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:

\begin{align*}& y' \leq 0, & \forall x \in [0;1] \\\Leftrightarrow & (1-2x)m \leq 2x^2-2x-1, &\forall x \in [0;1]\\ \Leftrightarrow & \left\{\begin{matrix}m \leq \frac{2x^2-2x-1}{1-2x}, & \forall x \in \left [0; \frac{1}{2} \right )\\ m \geq \frac{2x^2-2x-1}{1-2x}, & \forall x \in \left (\frac{1}{2};1 \right]\end{matrix}\right. & \\ \Leftrightarrow & \left\{\begin{matrix}m \leq \min_{\left [0; \frac{1}{2} \right )}g(x)\\ m \geq \max_{\left (\frac{1}{2};1 \right ]}g(x)\end{matrix}\right. &\end{align*}

Lập bảng biến thiên của hàm số: $g(x) = \frac{2x^2-2x-1}{1-2x}$ trên $\left [0; \frac{1}{2} \right ) \cup \left (\frac{1}{2};1 \right ]$, ta thu được:

$$\lim_{x \to \left(\frac{1}{2} \right )^-}g(x) = -\infty;\lim_{x \to \left(\frac{1}{2} \right )^+}g(x) = +\infty$$

Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.