6 replies to this topic

[Viet Hoang 99]

Sở giáo dục đào tạo Lào Cai

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2014-2015

Ngày thi: 24/06/2014

 

Câu 1. (2,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức: $P=\frac{\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}}$ với $x\geq 2$

2. Cho $x=\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1}$

Tính $Q=x^3+12x+2012$

Câu 2. (2,0 điểm).

Cho phương trình: $x^2-2mx+m-2=0~~(1)$ $(x$ là ẩn $)$

1. Cmr phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

2. Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $(1)$

Tìm $m$ để biểu thức $M=\frac{-24}{2mx_1+x_2^2-6x_1x_2-m+2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 3. (2,0 điểm)

1. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}mx-y=2 & & \\ x+my=3 & & \end{matrix}\right.$

Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho hệ phương trình có đúng 1 nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn: $x+y<0$

2. Tìm tất cả các giá trị $x;y$ nguyên dương thỏa mãn:

$$x^3+2x^2y+xy+2y^2-15=0$$

Câu 4. (3 điểm)

Từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ tới đường tròn $(O)$ $(B;C$ là tiếp điểm $)$. Đường thẳng qua $A$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$ và $E$ $(D$ nằm giữa $A$ và $E$, dây $DE$ không đi qua $O)$. Gọi $H$ là trung điểm của $DE,AE$ cắt $BC$ tại $K$

1. Cmr: tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn

2. Cmr: $HA$ là phân giác $\widehat{BHC}$

3. Cmr: $\frac{2}{AK}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{AE}$

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $a+b+c\leq 2014$

Cmr: $\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2014$

Edited by Viet Hoang 99, 15-07-2014 - 07:30.

[Trang Luong]

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $a+b+c\leq 2014$

Cmr: $\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2014$

 

Ta chứng minh : $\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq 2a-b\Rightarrow 5a^3-b^3\leq \left ( 2a-b \right )\left ( ab+3a^2 \right )=6a^3-3a^2b+2a^2b-b^2a\Rightarrow 0\leq a^3+b^3-a^2b-b^2a=a^2\left ( a-b \right )+b^2\left ( b-a \right )=\left ( a-b \right )^2\left ( a+b \right )$ luôn đúng

Vậy $\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c\leq 2014$

[Viet Hoang 99]

 

Sở giáo dục đào tạo Lào Cai

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2014-2015

Ngày thi: 24/06/2014

 

Câu 1. (2,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức: $P=\frac{\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}}{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}}$ với $x\geq 2$

2. Cho $x=\sqrt[3]{1+\sqrt{65}}-\sqrt[3]{\sqrt{65}-1}$

Tính $Q=x^3+12x+2012$

Câu 3. (2,0 điểm)

2. Tìm tất cả các giá trị $x;y$ nguyên dương thỏa mãn:

$$x^3+2x^2y+xy+2y^2-15=0$$

 

 

$1)$

$1.$ $\frac{P}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}}=\frac{2\sqrt{x-1}}{\sqrt{2x-1}+1-\sqrt{2x-1}+1}=\frac{2\sqrt{x-1}}{2}=\sqrt{x-1}$

$2.$ $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[3]{\sqrt{65}+1} & & \\ b=\sqrt[3]{\sqrt{65}-1} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=a-b & & \\ (a-b)^3=2-3ab(a-b)=2-3abx & & \\ ab=\sqrt[3]{64}=4 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x^3=(a-b)^3=2-12x \Rightarrow x^3+12x+2012=2014$

 

$3)$

$2.$

$x^3+2x^2y+xy+2y^2-15=0$

$\Leftrightarrow (x^2+y)(x+2y)=15$

Với $x;y>0$ thì $x^2+y$ và $x+2y$ thuộc $\textrm{Ư}(15)=\left \{ 1;3;5;15 \right \}$

Edited by Trang Luong, 15-07-2014 - 08:08.

[Thao Huyen]

 

Sở giáo dục đào tạo Lào Cai

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2014-2015

Ngày thi: 24/06/2014

 

Câu 2. (2,0 điểm).

Cho phương trình: $x^2-2mx+m-2=0~~(1)$ $(x$ là ẩn $)$

1. Cmr phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

2. Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $(1)$

Tìm $m$ để biểu thức $M=\frac{-24}{2mx_1+x_2^2-6x_1x_2-m+2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

 

2.1 $\Delta =(2m-1)^2+7>0 \Rightarrow $ pt có 2 nghiệm phân biệt

2.2 Theo hệ thức viet, ta có :$x1+x2=2m; x1*x2=m-2$

$2mx_{1}+x_{_{2}}^2-6x_{1}x_{2}-m+2=(x_{1}+x_{2})x_{1}+x_{2}^2-6x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}=(2m-1)^2+7\geqslant 7$

 $M=\frac{-24}{2mx_1+x_2^2-6x_1x_2-m+2}\geqslant \frac{-24}{7}$

dấu = xảy ra khi m=$\frac{1}{2}$

 

Viet Hoang 99

Chú ý $\LaTeX$, có thể kẹp $ vào một công thức dài ví dụ như

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

Chứ không phải là

$a^2$+$b^2$+$c^2$$\geq$$ab$+$bc$+$ca$

Không kẹp $ vào tiếng Việt có dấu

Edited by Viet Hoang 99, 15-07-2014 - 08:44.

[hoctrocuaZel]

2.1 $\Delta =(2m-1)^2+7>0 \Rightarrow $ pt có 2 nghiệm phân biệt

2.2 Theo hệ thức viet, ta có :$x1+x2=2m; x1*x2=m-2$

$2mx_{1}+x_{_{2}}^2-6x_{1}x_{2}-m+2=(x_{1}+x_{2})x_{1}+x_{2}^2-6x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}=(2m-1)^2+7\geqslant 7$

 $M=\frac{-24}{2mx_1+x_2^2-6x_1x_2-m+2}\geqslant \frac{-24}{7}$

dấu = xảy ra khi m=$\frac{1}{2}$

 

Viet Hoang 99

Chú ý $\LaTeX$, có thể kẹp $ vào một công thức dài ví dụ như

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

Chứ không phải là

$a^2$+$b^2$+$c^2$$\geq$$ab$+$bc$+$ca$

Không kẹp $ vào tiếng Việt có dấu

Bị sai bước bạn nhá!

Mẫu số= $(x_1+x_2)^2-8x_1x_2$ mới đúng.

Min là -2 khi m=1.

[Thao Huyen]

Bị sai bước bạn nhá!

Mẫu số= $(x_1+x_2)^2-8x_1x_2$ mới đúng.

Min là -2 khi m=1.

uhm. bt rồi. Nhầm. 

[guongmatkhongquen]

$1)$

$1.$ $\frac{P}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1}{\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}}=\frac{2\sqrt{x-1}}{\sqrt{2x-1}+1-\sqrt{2x-1}+1}=\frac{2\sqrt{x-1}}{2}=\sqrt{x-1}$

$2.$ $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[3]{\sqrt{65}+1} & & \\ b=\sqrt[3]{\sqrt{65}-1} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=a-b & & \\ (a-b)^3=2-3ab(a-b)=2-3abx & & \\ ab=\sqrt[3]{64}=4 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x^3=(a-b)^3=2-12x \Rightarrow x^3+12x+2012=2014$

 

$3)$

$2.$

$x^3+2x^2y+xy+2y^2-15=0$

$\Leftrightarrow (x^2+y)(x+2y)=15$

Với $x;y>0$ thì $x^2+y$ và $x+2y$ thuộc $\textrm{Ư}(15)=\left \{ 1;3;5;15 \right \}$

Giải tiếp đi,