Chủ đề này có 7 trả lời

[thukilop]

Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng

Trường Hè Toán HỌc 2014

Kiểm Tra Chất Lượng

Thời gian: 180, Ngày: 17-07-2014

 

====================

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC tại D. Gọi M là trung điểm BC và K là trực tâm tam giác IAC

a. Chứng minh DK vuông góc IM

b. Gọi H,L lần lượt là trực tâm tam giác IBC,IAB. Gọi X là điểm đối xứng của D qua IM và các điểm Y,Z xác định tương tự. Chứng minh HX,kY,LZ đồng quy

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$ thì luôn có bất đẳng thức:

$k(a^4+b^4+c^4-3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc-6$

 

$\boxed{\text{Bài 3}}$ Tìm $f: [0,+)\rightarrow [0,+)$ (từ 0 đến dương vô cùng) thỏa ĐK: 

$f(x^2)+f(y)=f(x^2+y+xf(4y))$ với mọi $x,y \geq 3$

 

$\boxed{\text{Bài 4}}$ Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Gọi E,F,G theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD, BC và DA, AC và BD. Các đường tròn (DAE), (DCF) cắt nhau tại điểm thứ hai là H. Phân giác của góc AHB cắt AB tại I, phân giác góc DHC cắt CD tại J. Chứng minh I,G,J thẳng hàng

 

$\boxed{\text{Bài 5}}$ Các số $1,2,...,n^2$ được điền vào bảng kích thước nxn theo cách như hình vẽ bên dưới. Ta xóa đi n số từ bảng, sao cho không có hai số nào được xóa cùng hàng cũng như không có hai số nào được xóa cùng cốt. Tìm Tổng các số còn lại của bảng

Lưu ý: thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 17-07-2014 - 19:08

[BlackSelena]

Bài hàm trông quen quen

[LNH]

$\boxed{\text{Bài 5}}$ Các số $1,2,...,n^2$ được điền vào bảng kích thước nxn theo cách như hình vẽ bên dưới. Ta xóa đi n số từ bảng, sao cho không có hai số nào được xóa cùng hàng cũng như không có hai số nào được xóa cùng cốt. Tìm Tổng các số còn lại của bảng

 

Gọi $a_1,...,a_n$ là các số được xoá sao cho $a_i$ thuộc hàng thứ $i$

Vì $(i-1)n+1 \leq a_i \leq in$ nên nếu ta đặt $b_i=a_i-(i-1)n$, ta có $1 \leq b_i \leq n$

Vì các số được xoá không nằm cùng cột nên $a_i$ không đồng dư với $a_j$ mod $n$, với mọi $i \neq j$

Suy ra $b_i \neq b_j$

Vậy $b_1,...,b_n$ chính là hoán vị của các số $1,2,...,n$

Như vậy tổng $b_1+...+b_n=1+...+n=\frac{n^2+n}{2}$

$a_1+...+a_n=\frac{n\left ( n^2+1 \right )}{2}$

Tổng các số còn lại là: $\frac{n^2\left ( n^2+1 \right )-n\left ( n^2+1 \right )}{2}=\frac{n^4-n^3+n^2-n}{2}$

[Juliel]

Bạn thukilop tên là gì vậy ở đoàn bắc quảng nam ?

[phuocdinh1999]

 

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$ thì luôn có bất đẳng thức:

$k(a^4+b^4+c^4-3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc-6$

 

 

Cho $a=2;b=c=\frac{1}{2} \Rightarrow k\geq \frac{2}{7}$. Ta CM đây là hằng số nhỏ nhất bằng dồn biến:

Giả sử $a\geq b\geq c$

$BDT\Leftrightarrow 2(a^4+b^4+c^4)-7(a^3+b^3+c^3)-21abc+36\geq 0$

 

Đặt $f(a;b;c)=2\sum a^4-7\sum a^3-21abc+36$ thì

 

$f(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2})=2a^4+4\left ( \frac{b+c}{2} \right )^4-7a^3-14\left ( \frac{b+c}{2} \right )^3-21a\left ( \frac{b+c}{2} \right )^2+36$

 

$f(a;b;c)-f(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2})=\frac{1}{4}(b-c)^2(7b^2+10bc+7c^2+21a-21b-21c)\geq 0$ (do $a\geq b\geq c$)

 

Đặt $t=\frac{b+c}{2}$ thì $a=3-2t (0<t<\frac{3}{2})$

Ta có $f(a;b;c)\geq f(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2})=...=9(t-1)^2(2t-1)^2\geq 0$

BĐT được CM, đẳng thức xảy ra khi $(a;b;c)=(1;1;1) $hoặc $(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ và các hoán vị

Vậy $Min k=\frac{2}{7}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 19-07-2014 - 09:53

[thukilop]

Cho $a=2;b=c=\frac{1}{2} \Rightarrow k\geq \frac{2}{7}$. Ta CM đây là hằng số nhỏ nhất bằng dồn biến:

Giả sử $a\geq b\geq c$

$BDT\Leftrightarrow 2(a^4+b^4+c^4)-7(a^3+b^3+c^3)-21abc+36\geq 0$

 

Đặt $f(a;b;c)=2\sum a^4-7\sum a^3-21abc+36$ thì

 

$f(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2})=2a^4+4\left ( \frac{b+c}{2} \right )^4-7a^3-14\left ( \frac{b+c}{2} \right )^3-21a\left ( \frac{b+c}{2} \right )^2+36$

 

$f(a;b;c)-f(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2})=\frac{1}{4}(b-c)^2(7b^2+10bc+7c^2+21a-21b-21c)\geq 0$ (do $a\geq b\geq c$)

 

Đặt $t=\frac{b+c}{2}$ thì $a=3-2t (0<t<\frac{3}{2})$

Ta có $f(a;b;c)\geq f(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2})=...=9(t-1)^2(2t-1)^2\geq 0$

BĐT được CM, đẳng thức xảy ra khi $(a;b;c)=(1;1;1) $hoặc $(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ và các hoán vị

Vậy $Min k=\frac{2}{7}$

$k=\frac{2}{7}$ là đúng rồi, nhưng dấu bằng chỉ xảy ra khi $(a,b,c)=(2,\frac{1}{2},\frac{1}{2}$ và hoán vị thôi...Không xảy ra $a=b=c=1$ vì khi đó cả VT và VP của BĐT cần chứng minh đều bằng 0 => đúng với mọi k 

[nkocnhangl]

Có ai giải được 2 bài hình không, giải giúp đi

[thukilop]

Đáp án: https://www.dropbox....nsq/Album_1.rar

 

 

Bạn thukilop tên là gì vậy ở đoàn bắc quảng nam ?

 

Thanh Hải Juliel   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 26-07-2014 - 14:24