Chủ đề này có 2 trả lời

[PolarBear154]

$\left\{\begin{matrix} z^{2}+2xyz=1 & & & \\ z+zy^{4}+4y^{3}=4y+6y^{2}z & & & \\ 3x^{2}y^{2}+3xy^{2}=1+x^{3}y^{4}& & & \end{matrix}\right.$

[dshung1997]

$\left\{\begin{matrix} z^{2}+2xyz=1 & & & \\ z+zy^{4}+4y^{3}=4y+6y^{2}z & & & \\ 3x^{2}y^{2}+3xy^{2}=1+x^{3}y^{4}& & & \end{matrix}\right.$

Đặt $z=tan\alpha $ $\left ( \alpha \in \left ( \frac{-\pi }{2};\frac{\pi}{2} \right ) \right )$

Từ phương trình thứ nhất ta có $xy=\frac{1-z^2}{2z}$ 

$\Rightarrow xy=\frac{1-tan^2\alpha }{2tan\alpha }=cot2\alpha $

Từ phương trình thứ ba

$\Leftrightarrow 3(xy)^2+3(xy)y=1+(xy)^3y$

$\Leftrightarrow y=\frac{3(xy)^2-1}{(xy)^3-3xy}=\frac{3cot^22\alpha -1}{cot^32\alpha -3cot2\alpha }=tan6\alpha$

Từ phương trình thứ hai suy ra

$\Leftrightarrow z=\frac{4y-4y^3}{1-6y^2+4y^4}=\frac{4tan6\alpha -4tan^36\alpha }{1-tan^26\alpha +4tan^46\alpha }=tan24\alpha$

Như vậy ta có $tan\alpha =tan24\alpha$

Từ đây giải ra $\alpha$ sẽ giải ra được $x; y ;z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dshung1997: 19-07-2014 - 21:40

[dshung1997]

Đặt $A = \frac{3a}{b+c} + \frac{4b}{c+a} + \frac{5c}{a+b}$

Ta có: $A+12=(a+b+c)(\frac{3}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{5}{a+b})$

Áp dụng côsi mở rộng ra được:

$\frac{3}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{5}{a+b} \geq \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5})^{2}}{2(a+b+c)}$

Suy ra: $A+12 \geq \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5})^{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \frac{b+c}{\sqrt{3}}=\frac{c+a}{\sqrt{4}}=\frac{a+b}{\sqrt{5}}$

                           $\Leftrightarrow ...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dshung1997: 02-08-2014 - 23:14