Chủ đề này có 1 trả lời

[lahantaithe99]

Cho $a,b,c\in (0,1)$ thỏa mãn $ab+bc+ac=1$. CMR

 

$\sum \frac{a^2+b^2}{(1-a^2)(1-b^2)}\geqslant \frac{9}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 19-07-2014 - 21:32

[Trang Luong]

Cho $a,b,c\in (0,1)$ thỏa mãn $ab+bc+ac=1$. CMR

 

$\sum \frac{a^2+b^2}{(1-a^2)(1-b^2)}\geqslant \frac{9}{2}$

Ta có : $\sum \frac{a^2+b^2}{(1-a^2)(1-b^2)}=\frac{\sum \left ( a^2+b^2 \right )\left ( 1-c^2 \right )}{\left ( 1-a^2 \right )\left ( 1-b^2 \right )\left ( 1-c^2 \right )}\geq \frac{9}{2}$

 

Từ $GT :ab+bc+ac=1\Rightarrow \sum a^2\geq 1\Rightarrow \sum \left ( 1-a^2 \right )\leq 2$

 

Ta có BĐT mới là $\frac{\sum \left ( 1-c^2 \right )^2}{\left ( 1-a^2 \right )\left ( 1-b^2 \right )\left ( 1-c^2 \right )}\geq \frac{9}{2} (*)$

 

Đặt $1-a^2=x,1-b^2=y,1-c^2=z$ 

$\Rightarrow  x+y+z\leq 2 $

$(*)\Rightarrow \frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\geq \frac{9}{2}\Rightarrow 2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )\geq 9xyz$

(đúng)

Vì $2\left ( x^2+y^2+z^2 \right )\geq\left ( x+y+z \right )\left ( x^2+y^2+z^2 \right )\geq 3\sqrt{xyz}.3\sqrt{x^2y^2z^2}=9xzy$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 19-07-2014 - 21:19