Chủ đề này có 1 trả lời

[Super Fields]

Bài toán:

 

 

Cho $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ . Chứng minh bất đẳng thức sau:

 

$\sum \frac{a}{\sqrt{4a^2+5bc}}\leq 1$

 

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 21-07-2014 - 15:14

[tap lam toan]

 

Bài toán:

 

 

Cho $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ . Chứng minh bất đẳng thức sau:

 

$\sum \frac{a}{\sqrt{4a^2+5bc}}\leq 1$

 

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$ 

 

Đặt $\left ( \frac{bc}{a^{2}},\frac{ca}{b^{2}},\frac{ca}{b^{2}} \right )\rightarrow \left ( x,y,z \right )$ suy ra $xyz=1$.
Do đó bđt cần chứng minh tương đương với
$$\frac{1}{\sqrt{4+5x}}+\frac{1}{\sqrt{4+5y}}+\frac{1}{\sqrt{4+5z}}\leq 1$$
Giả sự $x\geq y\geq z$ thì $x \geq 1$ và $yz \leq 1$. Ta sẽ chứng minh bổ đề $\dfrac{1}{\sqrt{4+5y}}+\dfrac{1}{\sqrt{4+5z}}\leq \dfrac{2}{\sqrt{4+5\sqrt{yz}}}(\bigstar )$
Bổ đề hiển nhiên đúng khi $y=z$. Với $y>z$, ta đặt $s=\frac{y+z}{2}$ và $p=\sqrt{yz}$ thì $s>p,p \leq 1$
Bình phương 
$$(\bigstar )\Leftrightarrow \frac{1}{4+5y}+\frac{1}{4+5z}-\frac{2}{4+5p}\leq \frac{2}{4+5p}-\frac{2}{\sqrt{(4+5y)(4+5z)}}$$
$$\Leftrightarrow \frac{-50p^{2}+50ps-40s+40p}{(4+5y)(4+5z)(4+5p)}\leq \frac{2\left [ (4+5y)(4+5z)-(4+5p)^{2} \right ]}{(4+5p)\sqrt{(4+5y)(4+5z)}((4+5p)+\sqrt{(4+5y)(4+5z)})}$$
Có $-50p^{2}+50ps-40s+40p=10(s-p)(5p-4)$ Do đó rút gọn cả hai vế cho $\dfrac{10(s-p)}{(4+5p)\sqrt{(4+5y)(4+5z)}}$. Ta chỉ còn chứng minh
$$\frac{5p-4}{\sqrt{(4+5y)(4+5z)}}\leq \frac{8}{4+5p+\sqrt{(4+5y)(4+5z)}}$$
$$\Leftrightarrow 25p^{2}-16\leq (12-5p)\sqrt{(4+5y)(4+5z)}$$
Điều này hiển nhiên đúng vì 
$$(12-5p)\sqrt{(4+5y)(4+5z)}-25p^{2}+16=(12-5p)\sqrt{25p^{2}+40s+16}-25p^{2}+16>$$
$$(12-5p)\sqrt{25p^{2}+40p+16}-25p^{2}+16=2(8-5p)(5p+4)>0$$
Bổ đề được chứng minh. Tiếp theo ta sẽ chỉ ra $\dfrac{1}{\sqrt{4+5x}}+\dfrac{2}{\sqrt{4+5\sqrt{yz}}}\leq 1$
Đặt $\sqrt{4+5\sqrt{yz}}=3t \Rightarrow \dfrac{2}{3}<t\leq 1$ và $x=\dfrac{1}{yz}=\dfrac{25}{(9t^{2}-4)^{2}}$. BĐT tương đương $\dfrac{9t^{2}-4}{3\sqrt{36t^{4}-32t^{2}+21}}+\dfrac{2}{3t}\leq 1$

$$\Leftrightarrow (2-3t)(\sqrt{36t^{4}-32t^{2}+21}-3t^{2}-2t)\leq 0$$
Do $2-3t<0$ nên ta cần chỉ ra $\sqrt{36t^{4}-32t^{2}+21}\geq 3t^{2}+2t\Leftrightarrow \left ( t-1 \right )^{2}\left ( 9t^{2}+14t+7 \right )\geq 0$
Từ đây ta có đpcm

 
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 23-07-2014 - 11:56