Chủ đề này có 1 trả lời

[cuong131hv]

cho tam giac ABC có O là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. AD,CF,BE là các đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AH, P là trung điểm của AC
a)Cm MNPO là hình bình hành
b)Cho Q là trung điểm của BC.Cm các điểm N,M,D,,P cùng nằm trên 1 đường tròn
c)Giả sử B,C cố định,A chuyển động trên đường tròn (O).Hỏi M chuyển động trên đường nào

 

[cat love math]

a) Theo tính chất đường trung bình ta có: MN song song với BE, NP song song với CF.

Vì O là tâm ngoại tiếp nên OM vuông góc AB, mà CF vuông góc với AB => OM song song CF => OM song song NP. Tương tự =>(đpcm)

b) Tam giác ADC vuông ở D có P là trung điểm AC => Tam giác PDC cân ở P => $\widehat{PDC}=\widehat{PCD}$

Mà ta lại có: $\widehat{PDC}=\widehat{MPD}    (MP song song BC)$

                    $\widehat{PCD}=\widehat{NHE}(HECD nội tiếp)=\widehat{MND} (MN song song HE)$

Suy ra: $\widehat{MPD}=\widehat{MND}$ => MNPD là tứ giác nội tiếp. 

c) Dễ thấy OMBQ là tứ giác nội tiếp ($\widehat{OMB}=\widehat{OQB}=90$) mà tam giác OBQ cố định khi A di chuyển trên (O) => Điểm M di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OBQ khi A di chuyển.

 

 

 

Ps: Ở câu b, nếu gọi X, Y lần lượt là trung điểm của HB, HC thì ta có 9 điểm D, E, F, M, N, P, Q, X, Y cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm OH. Đường tròn này gọi là đường tròn 9 điểm Euler!