Chủ đề này có 1 trả lời

[ngoisaocodon]

Cho hàm số  $y= x^{4} - 5x^{2} +4$     ( 1 )

Gọi A là điểm thuộc ( 1 ) có hoành độ bằng a. Tìm các giá trị của A để tiếp tuyến của ( 1 ) tại A cắt ( 1 ) tại ba điểm phân biệt A, B, C có $x_{A}^{3}+x_{B}^{3}+x_{C}^{3} > 0$

[hxthanh]

Cho hàm số  \begin{equation} y= x^{4} - 5x^{2} +4 \label{hs1}\end{equation}

Gọi $A$ là điểm thuộc \eqref{hs1} có hoành độ bằng $a$.

Tìm các giá trị của $A$ để tiếp tuyến của \eqref{hs1} tại $A$ cắt \eqref{hs1} tại ba điểm phân biệt $A, B, C$ có $x_{A}^{3}+x_{B}^{3}+x_{C}^{3} > 0$

Phương trình tiếp tuyến của \eqref{hs1} tại điểm có hoành độ $x_0=a$ là

\begin{equation}y=(4a^3-10a)(x-a)+a^4-5a^2+4 \label{hs2} \end{equation}

Đường thẳng \eqref{hs2} cắt đồ thị hàm số \eqref{hs1} tại những điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình

$$(4a^3-10a)(x-a)+a^4-5a^2+4=x^4-5x^2+4$$

\begin{equation} \label{pt1} \Leftrightarrow x^4-5x^2-(4a^3-10a)x+3a^4-5a^2=0\end{equation}

Chú ý rằng đường thẳng \eqref{hs2} là tiếp tuyến của đồ thị \eqref{hs1} nên phương trình \eqref{pt1} có nhân tử $(x-a)^2$.

Từ đó \eqref{pt1} phân tích được thành

\begin{equation} \label{pt2} (x-a)^2(x^2+2ax+3a^2-5)=0\end{equation}

Yêu cầu cần có: $a^3+x_1^3+x_2^3>0$ với $x_1, x_2$ là hai nghiệm phân biệt còn lại khác $a$ của \eqref{pt2}

Điều này tương đương với $\begin{cases}a^3+(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]>0\\ 6a^2-5\neq 0\\ -2a^2+5>0\end{cases}$

Hay (theo định lý Viète) $\begin{cases}a^3+(-2a)[(-2a)^2-3(3a^2-5)]>0 \\6a^2-5\neq 0\\-2a^2+5>0\end{cases}$

Suy ra

$a\in\left(-\sqrt{\frac{20}{11}},-\sqrt{\frac{5}{6}}\right)\cup\left(-\sqrt{\frac{5}{6}},0\right)\cup\left(\sqrt{\frac{20}{11}},\sqrt{\frac{5}{2}}\right)$